Ragionamento max e min vincolati

[mazzy89-votailprof]

data la funzione $f(x,y)=(x-y)^2$ trovare max e min vincolati alla funzione $g(x,y)=x^2+y^2-1$

ho risolto l'esercizio ma non saprei se il mio ragionamento è corretto.
dato che le due funzioni $f$ e $g$ $in$ $C^1$ posso applicare il metodo dei moltiplicatori di lagrange. In questo modo risolvendomi il solito sistema ottengo i punti critici $((sqrt2)/2,(sqrt2)/2)$, $((sqrt2)/2,-(sqrt2)/2)$,$(-(sqrt2)/2,(sqrt2)/2)$,$(-(sqrt2)/2,-(sqrt2)/2)$.addesso essendo la funzione $f(x,y)$ sempre positiva posso affermmare che solamente il punto $((sqrt2)/2,(sqrt2)/2)$ è di massimo. esatto?

[dissonance]

I punti critici sono quelli, però secondo i miei calcoli sono di massimo il secondo e il quarto e di minimo il primo e il terzo. Guarda meglio.

[Kroldar]

$f(x,y) = (x-y)^2$

$f(sqrt(2)/2,sqrt(2)/2) = 0$

$f(sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2) = 2$

$f(-sqrt(2)/2,sqrt(2)/2) = 2$

$f(-sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2) = 0$

Il primo e il quarto sono punti di minimo e il secondo e il terzo sono punti di massimo.

[dissonance]

Naturalmente è giusto come dice Kroldar... Ho fatto confusione con i punti.

[Kroldar]

Una piccola puntualizzazione per mazzy: è sbagliato dire che $f$ è sempre positiva, difatti $f$ può annullarsi e assume il valore minimo proprio nei punti in cui si annulla; è più corretto altresì dire che $f$ è non negativa.

[mazzy89-votailprof]

"Kroldar":$f(x,y) = (x-y)^2$

$f(sqrt(2)/2,sqrt(2)/2) = 0$

$f(sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2) = 2$

$f(-sqrt(2)/2,sqrt(2)/2) = 2$

$f(-sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2) = 0$

Il primo e il quarto sono punti di minimo e il secondo e il terzo sono punti di massimo.

come mai?non capisco.

[Kroldar]

Nell'espressione $(x-y)^2$ sostituisci $sqrt(2)/2$ al posto di $x$ ed $sqrt(2)/2$ al posto di $y$ e vedi quanto viene fuori. Ripeti lo stesso procedimento per le altre coppie di valori e ti troverai i risultati che ho scritto io. Si tratta di una semplice sostituzione.

[mazzy89-votailprof]

"Kroldar":Nell'espressione $(x-y)^2$ sostituisci $sqrt(2)/2$ al posto di $x$ ed $sqrt(2)/2$ al posto di $y$ e vedi quanto viene fuori. Ripeti lo stesso procedimento per le altre coppie di valori e ti troverai i risultati che ho scritto io. Si tratta di una semplice sostituzione.

be' questo l'avevo capito io mi chiedo come asserisci dai valori ottenuti che il punto è di max e min

[Kroldar]

Poiché il vincolo è un insieme compatto, per il teorema di Weierstrass esistono max e min assoluti.
Col metodo dei moltiplicatori di Lagrange, hai trovato i punti stazionari della funzione sul vincolo. I valori assunti dalla funzione sul vincolo in corrispondenza di tali punti stazionari sono due: $0$ e $2$. Essendo la curva che descrive il vincolo una curva regolare, non ci sono altri punti candidati ad essere max e min della funzione, per cui i punti trovati sono di max e min assoluti.