Ragionamento integrale

[lucavb]

Buongiorno,

è corretto questo svolgimento/ragionamento?

$ int sin^3xdx $ :

$int sinxdx int sin^2xdx$ --> $int sinx(1-cos^2x)dx$ --> $int sinx-(sinxcos^2x)dx$ --> $int sinx dx - int sinxcos^2xdx$;

$int sinx dx$ è immediato quindi $-cosx -int sinxcos^2xdx$;

$-int sinxcos^2xdx$ posso farlo per parti prendendo come fattore finito $cos^2x$ e come fattore differenziale $sinx$, ottenendo: $cos^2x-cosx-int -cosx-2cosxsenx dx$;

$cos^2x -cosx-int 2cos^2x sinx dx$ --> $-cos^3x- int2(1-sin^2x)sinx dx$ --> $-cos^3x-int 2senx-2sen^3x$;

$-cos^3x-2int senx dx-2int sen^3x dx$ riprendo il primo integrale immediato e riscrivo $-cos x-cos^3x+2cosx-2int sen^3x dx$

che diventa $-cos^3x+cosx-2 int sen^3x dx$, ora, posso porre tutto ciò uguale al testo di partenza? quindi: $-cos^3x+cosx-2 int sen^3x dx = int sin^3x dx$ --> $-cos^3x+cosx = 3int sin^3xdx$ e $(-cos^3x+cosx)/3 = int sin^3x dx$; poi se derivo $(-cos^3x+cosx)/3$ non ottengo $sin^3x$ verificando l'uguaglianza?

(tralasciando che si può fare con la formula di riduzione... )

grazie

[Sk_Anonymous]

Anche il secondo integrale è quasi immediato.
Attento a non scrivere che l'integrale del prodotto è uguale al prodotto degli integrali.

[lucavb]

dici $int sinx cos^x dx$ ?

ma oltre a questo svolgimento poco corretto e all'utilizzo della formula di riduzione non c'è un modo più "immediato" ?

[Sk_Anonymous]

Il secondo integrale è del tipo $f'(x)[f(x)]^\alpha$, un quasi immediato appunto.

[lucavb]

quindi $int sinxdx int sin^2x dx$ --> $int sinx dx int sin x (1-cos^2x)dx$ --> $int sinx cos^2 x dx$ diventa $ (cos^3x)/3 +c$ quindi alla fine di tutto $-cosx-(cos^3x)/3 +c$

[Sk_Anonymous]

Quasi, hai perso un meno perchè la derivata di $cosx$ è $-sinx$.

[lucavb]

ecco perchè poi la prova facendo la derivata non mi riusciva! grazie speculor! Sempre sostenuto che la matematica non fa per me! peccato averne tanta all'uni