Ragionamento in una dimostrazione, applicare l´ipotesi nella tesi per concludere che la tesi é (banalmente) ovvia..

[Noris1]

Salve a tutti,
nel mio testo di analisi, scritto dal mio docente, leggo una dimostrazione che mi lascia un tantino perplesso, ovvero presenta una proprietá con tanto di tesi e ipotesi, solo che non sviluppa l´ipotesi per avere la tesi piuttosto applica i dati dell´ipotesi nella tesi per fare vedere che la tesi é ovvia (banalmente), cioé riscrive la tesi applicando i dati a disposizione nell´ipotesi.. in parte, capendo la dimostrazione, mi sembra forse lecito, in altra parte non tanto poiché mi suona piú formale o sviluppare, in modo deduttivo, l´ipotesi per avere la tesi o negare la tesi ed applicare, qui, l´ipotesi (alla tesi negata) con un qualche ragionamento deduttivo se occorre, oppure (in casi fantasiosi) per contronominale... la proof in questione é la seguente (che io ho dimostrato per assurdo peró, in seguito é la dimostrazione presa dal testo):

TEOREMA 5.7. Se le successioni \((a_n)\), \((b_n)\) sono convergenti, con \((a_n)\to a\) e \((b_n)\to b\), allora la successione \((a_nb_n)\) é convergente e \((a_nb_n)\to ab\).

Dimostrazione. Proveremo che \((a_nb_n -ab) \to 0\) (cfr. cor. 5.1). Infatti, per ogni \(n\in \Bbb N\) si ha:

\(a_nb_n-ab=a_nb_n-a_nb+a_nb-ab=a_n(b_n-b)+b(a_n-a)\)

Dall´ipotesi \((a_n) \to a\), \((b_n) \to b\) segue che le successioni \((a_n -a)\) e \((b_n -b)\) convergono a zero (cfr. cor. 5.1) ed essendo la successione \((a_n)\) convergente e \(b\) una costante, le successioni \((a_n(b_n-b))\) e \((b(a_n-a))\) convergono a zero (cfr. esempio 5.13 e teor. 5.5). Ne segue che la successione \((a_nb_n-ab)\) converge a zero in quanto somma di due successioni che convergono a zero.

Per completezza riporto il cor. 5.1, esempio 5.13 e teor. 5.5

cor. 5.1. La successione \((a_n)\) converge ad \(a\) se e solo se la successione \((a_n-a)\) converge a zero
esempio 5.13 Se la successione \((a_n)\) converge a zero e la successione \((b_n)\) é limitata (convergente), si provi che la successione \((a_nb_n)\) converge a zero
teor. 5.5 Se la successione \((a_n)\) é convergente e \((a_n) \to a\) allora per ogni \(c \in \Bbb R\) si ha: \(c(a_n) \to ca\)

[dissonance]

Beh? Quale sarebbe il problema in questa dimostrazione? Ha dimostrato in modo corretto che $a_nb_n-ab\to 0$. Fine. Ho l'impressione che tu tendi a formalizzare eccessivamente. Così non vai da nessuna parte, queste dimostrazioni sono molto semplici ma presto ne arriveranno altre molto più complicate. Se inizi a legarti le mani con minuzie logiche non ne esci più.

[Noris1]

"dissonance":Beh? Quale sarebbe il problema in questa dimostrazione? Ha dimostrato in modo corretto che $a_nb_n-ab\to 0$. Fine. Ho l'impressione che tu tendi a formalizzare eccessivamente. Così non vai da nessuna parte, queste dimostrazioni sono molto semplici ma presto ne arriveranno altre molto più complicate. Se inizi a legarti le mani con minuzie logiche non ne esci più.

impressione errata, non tendo affatto e formalizzare, cerco di capire (é diversa la cosa!). Quando vi saranno dimostrazioni piú complesse vedremo se avró le mani legate (dubito comunque), qui voglio solo, e sono curioso, di capire una dimostrazioni alternativa. E comunque sia, mi hai dato conferma, e spero di fidarmi bene, che é un modo di dimostrare lecito, e come detto prima non vedo nessun problema solo e soltanto un modo di dimostrare che a rigor di logica sembra poco chiaro, e potrei sbagliare (purtroppo non ho fatto logica dei predicati e deduzione da potermi rispondere da solo ed inizio solo ora a studiare analisi..) e spero che qualcuno mi corregga dettagliatemente qui... grazie lo stesso!

[NoSignal]

"Noris":Dimostrazione. Proveremo che \( (a_nb_n -ab) \to 0 \) (cfr. cor. 5.1). Infatti, per ogni \( n\in \Bbb N \) si ha:

\( a_nb_n-ab=a_nb_n-a_nb+a_nb-ab=a_n(b_n-b)+b(a_n-a) \)

Voglio farti notare che in questo primo passo non è che hai "applicato la tesi", hai solamente enunciato che qualcosa è uguale a se stesso, niente di più e niente di meno;

"Noris":cioé riscrive la tesi applicando i dati a disposizione nell´ipotesi

la tesi è \( (a_nb_n -ab) \to 0 \) , non la semplice espressione $a_nb_n-ab$

[Noris1]

@Nosignal,
sisi ci siamo, é ovvio quanto dici... riscrive l´espressione, se sviluppi la convergenza nella tesi ti viene fuori l´espressione, per averla in modo tale da applicare i dati dell´ipotesi, con qualche osservazione fatta tra cor. teor. ed esempi, mostra che la tesi é ovvia! Perché non ricavare l´espressione invece e dopo riscriverla come nel primo passo e dopo applicare la tesi!?

[NoSignal]

Guarda secondo me ti stai perdendo in un bicchier d'acqua perchè la dimostrazione che hai scritto parte dalle ipotesi per arrivare alla tesi quindi è completamente deduttiva. Osserva meglio la dimostrazione e vedrai che la tesi non viene riscritta da nessuna parte, essa è l'ultima formula dedotta.

[garnak.olegovitc1]

"Noris":
TEOREMA 5.7. Se le successioni \((a_n)\), \((b_n)\) sono convergenti, con \((a_n)\to a\) e \((b_n)\to b\), allora la successione \((a_nb_n)\) é convergente e \((a_nb_n)\to ab\).

Dimostrazione. Proveremo che \((a_nb_n -ab) \to 0\) (cfr. cor. 5.1). Infatti, per ogni \(n\in \Bbb N\) si ha:

\(a_nb_n-ab=a_nb_n-a_nb+a_nb-ab=a_n(b_n-b)+b(a_n-a)\)

conosco il testo che la riporta (PM)! E lo devo ammettere, per quelli che iniziano a studiare analisi da zero (anche se si hanno le basi di fondamenti come hai scritto in un altro messaggio) quel testo é tosto.. in sostanza, puoi applicare un approccio un po píu algebrico oserei dire, oppure puoi prendere e considerare immediatamente e semplicemente la successione \((a_nb_n)- ab)\) (che é quello che fa lui, se ci pensi un attimo quella successione é lecito costruirsela, non mi dilungo piú di tanto... ), oppure come hai scritto dimostrare per assurdo, dopo scrivere il primo passo, applicare poi l´ipotesi & altro ed avere che converge..

Procediamo per assurdo, solo perché l´ho trovato divertente, e spero tu abbia chiare come sono definite le sucessioni somma e prodotto tra costanti e successione e tra successioni... tu hai, e uso delle mie notazioni, \(A:=(a_n)\), \(B:=(b_n)\), \(l:=a\), \(r:=b\), con \(A\rightarrow l\) ed \(B\rightarrow r\), noi dobbiamo dimostrare che \(AB \rightarrow lr\) e per farlo useremo, come il testo, il cor. ovvero dimostrare semplicemente che \((AB -lr) \rightarrow 0\), e procedendo per assurdo, ovvero \((AB -lr) \nrightarrow 0\), negando l´intera definizione di convergenza (anche qui non mi dilungo, nega tu e vedi che esiste, in questo caso, un \(x\) bla bla bla ed un \(z\) bla bla bla...) avremo:
\begin{align*}
 \bigr|(AB -lr)(z) - 0\bigr|&\geq x \\
 \bigr|\bigr( (AB)(z) -lr\bigr) - 0\bigr|&\geq x \\
 \bigr|\bigr( (AB)(z) -(lr +{\color{average} 0})\bigr) - 0\bigr|&\geq x\\
 \bigr|\bigr( (AB)(z) -\bigr(lr +({\color{average} (rA)(z)-(rA)(z)})\bigr)\bigr) - 0\bigr|&\geq x\\
 \bigr|\bigr( (AB)(z) -(rA)(z)+(rA)(z) -lr\bigr) - 0\bigr|&\geq x\\
 \bigr|\bigr( A(z)B(z) -rA(z)+rA(z) -lr\bigr) - 0\bigr|&\geq x\\
 \bigr|\bigr( A(z)(B(z) -r)+r(A(z) -l)\bigr) - 0\bigr|&\geq x\\
 \bigr|\bigr( \bigr(A(B-r)\bigr)(z)+\bigr(r(A-l)\bigr)(z)\bigr) - 0\bigr|&\geq x\\
 \bigr|\bigr( A(B-r)+r(A-l)\bigr)(z) - 0\bigr|&\geq x
\end{align*} e ció significa che \(\bigr( A(B-r)+r(A-l)\bigr) \nrightarrow 0\), come vedi siamo passati da una forma ad un´altra, ma \((A-l)\) converge a zero per il cor.  e \(r(A-l)\) converge a zero per il teor., inoltre \((B-r)\) converge a zero per il cor. e \(A(B-r)\) converge a zero per l´esempio, allora  \(\bigr( A(B-r)+r(A-l)\bigr) \) converge a zero (e questo é un assurdo col fatto che avevamo, tramite il cambio forma, trovato che non lo era)...

Spero ti é chiaro... vi sono molti modo di dimostrare, capire é corretto ma ti consiglio di averne in mente uno solo per adesso che sia facile, immediato e da te compreso (ovviamente quelle disuguaglianze centrate potresti renderle piú sintetiche ma ho voluto esplicitare dettagliatamente il tutto, anche se é tutto meccanica, cosí ti é chiaro in modo immediato). Spero di non avere tralasciato qualcosa o scritto male!
Ciao

[gugo82]

Analogo procedimento, ma sfruttando maggiorazioni.

Consideriamo la quantità \(|a_nb_n - ab|\) e maggioriamo:
\[
\begin{split}
|a_nb_n-ab| &= |a_nb_n \underbrace{- a_nb + a_nb}_{=0} - ab|\\
&\stackrel{\text{dis. tr.}}{\leq} |a_nb_n-a_nb| + |a_nb - ab|\\
&= |a_n|\cdot |b_n-b| + |b|\cdot |a_n-a|
\end{split}
\]
per ogni $n\in \NN$.
Dato che \((a_n)\) è convergente, essa è limitata (l'abbiamo dimostrato qualche thread fa), dunque esiste un $M\geq 0$ tale che \(|a_n|\leq M\) per ogni $n\in \NN$; ciò importa che:
\[
\begin{split}
|a_nb_n-ab| &\leq M\cdot |b_n-b|+|b|\cdot |a_n-a|\\
&\leq \underbrace{C}_{:= \max \{M,|b|\}}\cdot \Big( |b_n-b| + |a_n-a|\Big)
\end{split}
\]
per ogni $n\in \NN$.
Ora, per definizione di limite, fissato \(\varepsilon >0 \) in corrispondenza del numero \(\frac{\varepsilon}{2(C+1)} >0\) esistono due indici \(\lambda ,\mu \in \mathbb{N}\) tali che:
\[
\begin{split}
\forall n>\lambda ,\ |a_n-a|&<\frac{\varepsilon}{2(C+1)}\\
\forall n>\mu ,\ |b_n-b|&<\frac{\varepsilon}{2(C+1)}\; ,
\end{split}
\]
sicché, posto \(\nu := \max \{\lambda ,\mu\} \in \mathbb{N}\), entrambe le disuguaglianze precedenti valgono per $n>\nu$.
Conseguentemente si ha:
\[
\begin{split}
|a_nb_n-ab| &\leq C\cdot \left( \frac{\varepsilon}{2(C+1)} + \frac{\varepsilon}{2(C+1)}\right)\\
&= \frac{C}{C+1}\cdot \varepsilon\\
&< \varepsilon
\end{split}
\]
per ogni $n > \nu$.

Dato che il precedente ragionamento si può ripetere per ogni scelta di \(\varepsilon >0\), esso implica che:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \nu \in \mathbb{N}:\quad \forall n>\nu,\ |a_nb_n-ab|<\varepsilon\; ,
\]
ossia \(\displaystyle \lim_n a_nb_n = ab\).[nota]Questa chiusura, che di solito si omette perché ovvia, risponde alla questione che hai sollevato qui.[/nota]

[Noris1]

@gugo82 @garnak.olegovtic,
vi ringrazio... mi é piú chiaro