Raggio serie

[pippo_87]

$\sum_{n=1}^\infty\frac{5^n+(-3^n)}{n}*(x+1/5)^n$


come si trova il raggio di convergenza della serie???
se è possibile spiegare passo per passo
grazie mille

[Megan00b]

Quello che ti dico devi ricontrollarlo tu, non ti fidare dei miei conti.
Hai una serie del tipo
$sum_na_n(x+1/5)^n$.
Innanzitutto cambiamo variabile:
$y=x+1/5$
$sum_na_n(y)^n$.
Ora la serie è centrata in zero. Il risultato che otteniamo alla fine dovremo traslarlo indietro di $1/5$.
Per un noto lemmino che dovresti trovare su molti libri di analisi il raggio di convergenza di una serie di potenze è dato dal reciproco del limite:
$lim\s\u\p_{n to infty}root(n)|a_n|$
(intendendo $infty$ il reciproco di 0 e viceversa).
Ora se non erro quel limite superiore dovrebbe essere proprio un limite e fare 5. Dunque la serie centrata in 0 ha raggio di convergenza 1/5 e quindi intervallo di convergenza $]-1/5, 1/5 [$. Se trasli ottieni l'intervallo di convergenza della serie iniziale.

[pippo_87]

per quale motivo il risultato del limite è 5?

[gugo82]

Perchè Megan00b ha svolto bene i calcoli.

Per trovare il risultato basta portare fuori dalla radice $5^n$ e tenere presenti un po' di limiti fondamentali.