Raggio di serie COMPLESSA

[TheXeno1]

Ciao a tutti! Sto facendo temi d'esame per analisi Complessa e volevo sapere pareri, visto che non ci sono soluzioni

L'esercizio è questo:

Si determini e si rappresenti graficamente l’insieme di convergenza della serie complessa
$ sum_(n = 1)^(oo) z^2(Im(z))^(n+3) $
Se ne calcoli successivamente la somma.

Per ora ditemi se è corretto che il raggio di convergenza è una semicirconferenza centrata in 0 dove appunto viene considerata solo la parte nel piano complesso?

[dissonance]

Non puoi parlare di raggio di convergenza, perché non hai una serie di potenze. E infatti la conclusione a cui arrivi è falsa. Quella serie converge quando $|"Im"(z)|

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[TheXeno1]

"dissonance":Non puoi parlare di raggio di convergenza, perché non hai una serie di potenze. E infatti la conclusione a cui arrivi è falsa. Quella serie converge quando $|"Im"(z)|
esatto, arrivo a una serie geometrica w^n di raggio 1, con w=Im(z)
quindi è giusto parlare di raggio, ma se ho $ q=z^2w^3sum_(n = 0)^(oo) w^n $ ho dubbi su come arrivare al raggio relativo non a w, ma a z. Ho pensato che se quello di w è uguale a 1, z che va a considerare solo la sua parte immaginaria, mi ha fatto pensare di tagliare via la parte reale. E mi correggo anche: non è la semi circonferenza, ma è la cironferenza senza l'asse dei reali. Ma non sono convinto, ecco il problema XD

[dissonance]

Ma no. Non è giusto parlare di raggio, ti ripeto. Si, va bene fare la sostituzione $x="Im"(z)$ e studiare la serie (questa sì, una serie di potenze reale) $sum_{n=0}^infty x^n$. Poi però devi interpretare i risultati nel piano complesso. L'ultima serie scritta converge quando $|x|<1$ (nota bene: $x$ è un numero reale, quello quindi è un valore assoluto e non un modulo), quindi la serie assegnata converge quando $|"Im"(z)|<1$: devi disegnare questo insieme nel piano complesso. Non è una circonferenza e nemmeno ci assomiglia.

[TheXeno1]

"dissonance":Ma no. Non è giusto parlare di raggio, ti ripeto. Si, va bene fare la sostituzione $x="Im"(z)$ e studiare la serie (questa sì, una serie di potenze reale) $sum_{n=0}^infty x^n$. Poi però devi interpretare i risultati nel piano complesso. L'ultima serie scritta converge quando $|x|<1$ (nota bene: $x$ è un numero reale, quello quindi è un valore assoluto e non un modulo), quindi la serie assegnata converge quando $|"Im"(z)|<1$: devi disegnare questo insieme nel piano complesso. Non è una circonferenza e nemmeno ci assomiglia.

Deduco quindi che se |Im(x)|<1, rappresenta un segmento sulle x che va da -1 a 1, corretto?
EDIT: Deduco quindi che se |Im(x)|<1, rappresenta un segmento sulle y che va da -1 a 1, corretto?

[dissonance]

Ma no!!! Come fa ad essere un segmento, non vedi che deve essere un insieme aperto? Intepreta il piano complesso come $RR^2$, identificando $x$ ad $"Re"(z)$, $y$ ad $"Im"(z)$. Allora l'insieme da disegnare è

${(x, y)\ :\ -1< y < 1}$

Disegna questo. Se non lo sai fare, vai a rivedere gli appunti dei corsi precedenti di analisi o di geometria analitica. Devi saperlo fare da solo, altrimenti non andrai da nessuna parte con le serie complesse.

[TheXeno1]

"dissonance":Ma no!!! Come fa ad essere un segmento, non vedi che deve essere un insieme aperto? Intepreta il piano complesso come $RR^2$, identificando $x$ ad $"Re"(z)$, $y$ ad $"Im"(z)$. Allora l'insieme da disegnare è

${(x, y)\ :\ -1< y < 1}$

Disegna questo. Se non lo sai fare, vai a rivedere gli appunti dei corsi precedenti di analisi o di geometria analitica. Devi saperlo fare da solo, altrimenti non andrai da nessuna parte con le serie complesse.

Scusa il disegno XD
però non è la linea tra le due parentesine in alto e in basso? (in teoria infatti non so cosa fa nei punti i e -i)

O forse è tutta la zona tra i e -i? eh, forse si
correggo così:

[dissonance]

eh, forse si

Eh già, proprio così. Si chiama "striscia". Nel tuo disegno stai obbligando $x$ ad essere uguale a $0$ ma non è scritto da nessuna parte. NOTA BENE: come osservavi tu si tratta della striscia aperta, ovvero senza le due rette $y=+- i$ che ne formano il bordo.

[TheXeno1]

"dissonance":Nel tuo disegno stai obbligando $x$ ad essere uguale a $0$ ma non è scritto da nessuna parte.

E' quello che mi ha confuso: x può avere qualsiasi valore..