Raggio di convergenza sviluppo in serie
Salve, ho sviluppato in serie di Mc Laurin la seguente funzione $ f(x)=e^(-x^2) $ fino al terzo ordine ottenedo quanto segue:
$ x^2 = t $ $ f(t)=1-t+t^2/2-t^3/6+R3 $
Il problema sorge nel calcolare il raggio di convergenza, dopo aver letto il libro e qualcosa su internet sono sempre più dubbioso su come procedere
Garzie
$ x^2 = t $ $ f(t)=1-t+t^2/2-t^3/6+R3 $
Il problema sorge nel calcolare il raggio di convergenza, dopo aver letto il libro e qualcosa su internet sono sempre più dubbioso su come procedere
Garzie
Risposte
Cosa rappresenta quello sviluppo? Perché è scritto \(x^2=tf(t)=\dots\)?
Certamente quello non è lo sviluppo di \(e^{-x^2}\), dato che la funzione è pari ma lì compaiono anche potenze dispari.
Certamente quello non è lo sviluppo di \(e^{-x^2}\), dato che la funzione è pari ma lì compaiono anche potenze dispari.
"phaerrax":
Cosa rappresenta quello sviluppo? Perché è scritto \( x^2=tf(t)=\dots \)?
$ x^2=t $ è la sostituzione che ho effettuato..... di conseguenza la mia $ f(x)= e^-(x^2) $ diventa $ f(t)= e^-(t) $
facendo le derivate $ f'(t)= -e^-(t) $ ; $ f'(t)= e^-(t) $ e così via....
"phaerrax":dov'è l'errore
Certamente quello non è lo sviluppo di \( e^{-x^2} \), dato che la funzione è pari ma lì compaiono anche potenze dispari.
nel dubbio ho fatto una prova .....
My bad, non avevo capito che quelle erano due equazioni separate.
Comunque sì, insomma, è sufficiente in questo caso sostituire \(x\) con \(-x^2\) nello sviluppo di \(e^x\).
Per il raggio di convergenza, è necessario usare la serie completa e non solo i primi termini, ossia
\[
e^{-x^2}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-x^2)^n}{n!}
\]
e calcolare il raggio con i soliti teoremi (criteri edlla radice, del rapporto etc.).
Comunque sì, insomma, è sufficiente in questo caso sostituire \(x\) con \(-x^2\) nello sviluppo di \(e^x\).
Per il raggio di convergenza, è necessario usare la serie completa e non solo i primi termini, ossia
\[
e^{-x^2}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-x^2)^n}{n!}
\]
e calcolare il raggio con i soliti teoremi (criteri edlla radice, del rapporto etc.).
"phaerrax":
Per il raggio di convergenza, è necessario usare la serie completa e non solo i primi termini, ossia
\[
e^{-x^2}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-x^2)^n}{n!}
\]
e calcolare il raggio con i soliti teoremi (criteri edlla radice, del rapporto etc.).
Per calcolare il raggio di convergenza ho usato il criterio del rapporto:
$ a_(n+1)/a_n=(-x^2)^(n+1)/((n+1)!)(n!)/((-x^2)^n)=(-x^2)/(n+1) $ ,
quindi, $ lim_(n -> oo ) (-x^2)/(n+1) =0 $
Per concludere, $ R=+oo $ !
Ci Siamo?
E' meglio scrivere così....
oppure così $ a_(n+1)/a_n=(1)^(n+1)/((n+1)!)(n!)/((1)^n)=(1)/(n+1) $ ,
quindi, $ lim_(n -> oo ) (1)/(n+1) =0 $ visto che $ x=0 $
"Frasandro":
Per calcolare il raggio di convergenza ho usato il criterio del rapporto:
$ a_(n+1)/a_n=(-x^2)^(n+1)/((n+1)!)(n!)/((-x^2)^n)=(-x^2)/(n+1) $ ,
quindi, $ lim_(n -> oo ) (-x^2)/(n+1) =0 $
oppure così $ a_(n+1)/a_n=(1)^(n+1)/((n+1)!)(n!)/((1)^n)=(1)/(n+1) $ ,
quindi, $ lim_(n -> oo ) (1)/(n+1) =0 $ visto che $ x=0 $
Non proprio: dovresti considerare, nel criterio, solo il coefficiente \(a_n\) della serie \(\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\), e in questo caso
\[
e^{-x^2}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-x^2)^n}{n!}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n!}x^{2n}
\]
dunque il criterio diventa
\[
\bigg|\frac{a_{n+1}}{a_n}\bigg|=\frac1{n+1}
\]
che tende a zero quindi il raggio. giustamente, è $+\infty$.
\[
e^{-x^2}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-x^2)^n}{n!}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n!}x^{2n}
\]
dunque il criterio diventa
\[
\bigg|\frac{a_{n+1}}{a_n}\bigg|=\frac1{n+1}
\]
che tende a zero quindi il raggio. giustamente, è $+\infty$.
Ciao Ragazzi 
,
devo calcolare il raggio di convergenza questa serie di Taylor centrata in $x_0=-3$: $f(x)=log(-x-1)$
se ho capito bene, devo cercare di ricondurmi alla serie notevole del logaritmo che sarebbe:
$ ln(1+x)= sum_(n = 1)^oo (-1)^(n+1)x^n/n $ , ma come faccio?
,devo calcolare il raggio di convergenza questa serie di Taylor centrata in $x_0=-3$: $f(x)=log(-x-1)$
se ho capito bene, devo cercare di ricondurmi alla serie notevole del logaritmo che sarebbe:
$ ln(1+x)= sum_(n = 1)^oo (-1)^(n+1)x^n/n $ , ma come faccio?
"Frasandro":
Ciao Ragazzi
devo calcolare il raggio di convergenza questa serie di Taylor centrata in $x_0=-3$: $f(x)=log(-x-1)$
se ho capito bene, devo cercare di ricondurmi alla serie notevole del logaritmo che sarebbe:
$ ln(1+x)= sum_(n = 1)^oo (-1)^(n+1)x^n/n $ , ma come faccio?
Cerchiamo di ricavarla direttamente dalla formula di Taylor. Sappiamo che la formula di Lebniz per le derivate di $ \ln (ax + b)$ è
\[ D^n \left ( \ln (ax + b) \right ) = (-1)^{n - 1}\frac{ (n-1)! \cdot a^n}{(ax + b)^n} \]
dove [tex]D^n ( \dots )[/tex] indica la derivata n-esima.
In questo caso, $ a = -1, \ b = -1 $:
\[ D^n \left ( \ln (-x -1) \right ) = (-1)^{n - 1}\frac{ (n-1)! \cdot (-1)^n}{(-x -1)^n} = - \frac{(n-1)!}{(-x - 1)^n} \]
Per $ x = -3$, otteniamo:
\[ D^n \left ( \ln (2) \right ) = - \frac{(n-1)!}{(3 -1)^n} = -\frac{(n-1)!}{2^n} \]
Inoltre, $ f(-3) = \ln 2 $.
Passando alla formula di Taylor:
\[ \ln (-x -1) = \ln 2 - \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{(n-1)!}{n! \cdot 2^n}(x + 3)^n = \ln 2 - \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{(n-1)!}{n \cdot (n-1)! \cdot 2^n}(x + 3)^n = \]
\[ = \ln 2 - \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{2^n \cdot n}(x + 3)^n \]
Quindi, lo sviluppo di Taylor centrato in $ x_0 = - 3$ di $ \ln (-x -1) $ è:
\[ \ln 2 - \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{2^n \cdot n}(x + 3)^n \]
Grazie mille, preziosissimo 
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