Raggio di convergenza serie di potenze
Buongiorno a tutti, ho un problema con questo esercizio teorico, che mi è capitato in un compito di analisi2:
siano $a_n in RR$ tali che $\sum_{n=0}^infty a_n$ converge, mentre $\sum_{n=0}^infty |a_n| = infty$, determinare il raggio di convergenza della serie di potenze $\sum_{n=0}^infty a_n x^n$.
Ora dai dati che mi dà, so per certo che $\lim_{n \to \infty}a_n=0$ perché la serie degli $a_n$ converge, mentre nulla so dire per il $\lim_{n \to \infty}|a_n|$ perché potrebbe essere qualunque cosa; quindi per determinare il raggio di convergenza non so cosa dire per il $\lim_{n \to \infty} root(n) (|a_n|)$ (quel lim sarebbe un limsup, ma non so come scriverlo).
Ho pensato di usare magari il criterio del rapporto, trovando il raggio di convergenza con il reciproco di $\lim_{n \to \infty}(a_(n+1))/(a_n)$ ma sarebbe una forma indeterminata del tipo $0/0$ e comunque non saprei come comportarmi.
Spero vivamente in un vostro aiuto, perchè sarebbe veramente prezioso.
Grazie in anticipo
siano $a_n in RR$ tali che $\sum_{n=0}^infty a_n$ converge, mentre $\sum_{n=0}^infty |a_n| = infty$, determinare il raggio di convergenza della serie di potenze $\sum_{n=0}^infty a_n x^n$.
Ora dai dati che mi dà, so per certo che $\lim_{n \to \infty}a_n=0$ perché la serie degli $a_n$ converge, mentre nulla so dire per il $\lim_{n \to \infty}|a_n|$ perché potrebbe essere qualunque cosa; quindi per determinare il raggio di convergenza non so cosa dire per il $\lim_{n \to \infty} root(n) (|a_n|)$ (quel lim sarebbe un limsup, ma non so come scriverlo).
Ho pensato di usare magari il criterio del rapporto, trovando il raggio di convergenza con il reciproco di $\lim_{n \to \infty}(a_(n+1))/(a_n)$ ma sarebbe una forma indeterminata del tipo $0/0$ e comunque non saprei come comportarmi.
Spero vivamente in un vostro aiuto, perchè sarebbe veramente prezioso.
Grazie in anticipo
Risposte
"LucaSanta93":
Buongiorno a tutti, ho un problema con questo esercizio teorico, che mi è capitato in un compito di analisi2:
siano $a_n in RR$ tali che $\sum_{n=0}^infty a_n$ converge, mentre $\sum_{n=0}^infty |a_n| = infty$, determinare il raggio di convergenza della serie di potenze $\sum_{n=0}^infty a_n x^n$.
Ora dai dati che mi dà, so per certo che $\lim_{n \to \infty}a_n=0$ perché la serie degli $a_n$ converge, mentre nulla so dire per il $\lim_{n \to \infty}|a_n|$ perché potrebbe essere qualunque cosa;[...]
Ma no, ma no... Rifletti bene.
"LucaSanta93":
quindi per determinare il raggio di convergenza non so cosa dire per il $\lim_{n \to \infty} root(n) (|a_n|)$ (quel lim sarebbe un limsup, ma non so come scriverlo).
Ho pensato di usare magari il criterio del rapporto, trovando il raggio di convergenza con il reciproco di $\lim_{n \to \infty}(a_(n+1))/(a_n)$ ma sarebbe una forma indeterminata del tipo $0/0$ e comunque non saprei come comportarmi.
Spero vivamente in un vostro aiuto, perchè sarebbe veramente prezioso.
Pensa un po': può la serie convergere in qualche \(x\) tale che \(|x|>1\)? Sì? No? Perché?
La serie converge in qualche \(x\) tale che \(|x|<1\)? Sì? No? Perché?
Dunque qual è il raggio di convergenza?
A naso direi che la serie potrebbe convergere per $x$ tali che $|x|<1$, per la serie armonica generalizzata, però non capisco dove sbaglio nella prima parte... il $\lim_{n \to \infty}a_n=0$ per la condizione necessaria di convergenza, mentre per il $\lim_{n \to \infty}|a_n|$ non so cosa dire, perché mi viene da pensare alla serie $\sum_{n=1}^infty (1/n)$ che ha limite $0$, ma diverge
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