Raggio di convergenza - Laurent
Buongiorno , sapete spiegarmi come calcolare il raggio di convergenza ?
Calcolare la parte principale e il raggio di convergenza della parte olomorfa dello sviluppo di Laurent di
$f(z) = (1/((z^3)(z+2)^2))$ in $z_0 =0$
Io ho calcolato la Parte Principale , che mi viene : $ (1/(4(z^3)) - 1/(4(z^2)) + 3/(16z)) $
Come posso calcolarmi il raggio di convergenza ?
Mi serve la parte olomorfa ?
La parte olomorfa la calcolo come $ f(z)- PP = (1/((z^3)(z+2)^2)) -(1/(4(z^3)) - 1/(4(z^2)) + 3/(16z))= -(8+3 z)/(16 (2+z)^2)$
Calcolare la parte principale e il raggio di convergenza della parte olomorfa dello sviluppo di Laurent di
$f(z) = (1/((z^3)(z+2)^2))$ in $z_0 =0$
Io ho calcolato la Parte Principale , che mi viene : $ (1/(4(z^3)) - 1/(4(z^2)) + 3/(16z)) $
Come posso calcolarmi il raggio di convergenza ?
Mi serve la parte olomorfa ?
La parte olomorfa la calcolo come $ f(z)- PP = (1/((z^3)(z+2)^2)) -(1/(4(z^3)) - 1/(4(z^2)) + 3/(16z))= -(8+3 z)/(16 (2+z)^2)$
Risposte
Il raggio di convergenza di f(z) e' lo stesso raggio di convergenza di...
$g(z)= \frac{1}{4}\ \frac{1}{(1+\frac{z}{2})^{2}} = - \frac{1}{2}\ \frac{d}{d z} \frac{1}{1+\frac{z}{2}}$ (1)
... vale a dire r=2...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
$g(z)= \frac{1}{4}\ \frac{1}{(1+\frac{z}{2})^{2}} = - \frac{1}{2}\ \frac{d}{d z} \frac{1}{1+\frac{z}{2}}$ (1)
... vale a dire r=2...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
"chisigma":
Il raggio di convergenza di f(z) e' lo stesso raggio di convergenza di...
$g(z)= \frac{1}{4}\ \frac{1}{(1+\frac{z}{2})^{2}} = - \frac{1}{2}\ \frac{d}{d z} \frac{1}{1+\frac{z}{2}}$ (1)
... vale a dire r=2...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
Ti ringrazio per la risposta . . . ma non ho capito bene chi è g(z) , potresti spiegarmi quali passaggi hai fatto e da dove sei partito ?
"ummo89":
Buongiorno , sapete spiegarmi come calcolare il raggio di convergenza ?
Calcolare la parte principale e il raggio di convergenza della parte olomorfa dello sviluppo di Laurent di
$ f(z) = (1/((z^3)(z+2)^2)) $ in $ z_0 =0 $
Io ho calcolato la Parte Principale , che mi viene : $ (1/(4(z^3)) - 1/(4(z^2)) + 3/(16z)) $
Come posso calcolarmi il raggio di convergenza ?
Mi serve la parte olomorfa ?
La parte olomorfa la calcolo come $ f(z)- PP = (1/((z^3)(z+2)^2)) -(1/(4(z^3)) - 1/(4(z^2)) + 3/(16z))= -(8+3 z)/(16 (2+z)^2) $
Dato che la parte olomorfa di \(f\) in \(0\) è \(\phi (z)=-\frac{3z+8}{16(z+2)^2}\) e che essa ha un unico punto singolare in \(-2\) (che è un polo del secondo ordine), puoi subito dire che il raggio di convergenza dello svilppo in serie di potenze di \(\phi\) centrato in \(0\) non supera la distanza tra il centro dello sviluppo ed il polo di \(\phi\), cioè è \(\leq |2-0|=2\).
Ora, hai:
\[
\begin{split}
\phi (z) &= \frac{-1}{16}\ \frac{2+3(z+2)}{(z+2)^2} \\
&= \frac{-1}{16}\ \frac{2}{(z+2)^2} -\frac{3}{16}\frac{1}{z+2}
\end{split}
\]
e le due funzioni all'ultimo membro si possono sviluppare in serie di Taylo di centro \(0\) usando la serie geometrica di ragione \(-\frac{z}{2}\), perciò entrambi gli sviluppi hanno raggio di convergenza \(=2\); conseguentemente il raggio di convergenza della serie somma, cioè dello sviluppo in serie di \(\phi\), è \(\geq 2\).
Confrontando le due disuguaglianze, trai che il raggio di convergenza dello sviluppo in serie di Taylor di \(\phi\) è \(=2\).
Grazie mille per la spiegazione 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo