Raggio di convergenza e serie ausiliaria
Salve,
ho la serie $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2+i\sqrt n}{n+i\ln n}(3z-i)^{2n}=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2+i\sqrt n}{n+i\ln n}9^n(z-\frac{i}{3})^{2n}$
non ho capito perchè considerando la serie $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2+i\sqrt n}{n+i\ln n}9^nt^n$ chiamata serie ausialiaria, quando calcoliamo il raggio di convergenza di quest'ultima come:
$R_{AUX}=\lim \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=L$ dove $a_n=\frac{n^2+i\sqrt n}{n+i\ln n}9^n$, poi la prof, per ottenere quello della serie "originaria" ne fa la radice quadrata, ossia
$R=\sqrt L$
(in pratica non ho capito questa radice quadrata da dove esce fuori)
ho la serie $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2+i\sqrt n}{n+i\ln n}(3z-i)^{2n}=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2+i\sqrt n}{n+i\ln n}9^n(z-\frac{i}{3})^{2n}$
non ho capito perchè considerando la serie $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2+i\sqrt n}{n+i\ln n}9^nt^n$ chiamata serie ausialiaria, quando calcoliamo il raggio di convergenza di quest'ultima come:
$R_{AUX}=\lim \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=L$ dove $a_n=\frac{n^2+i\sqrt n}{n+i\ln n}9^n$, poi la prof, per ottenere quello della serie "originaria" ne fa la radice quadrata, ossia
$R=\sqrt L$
(in pratica non ho capito questa radice quadrata da dove esce fuori)
Risposte
Ci provo: nel passaggio dalla serie originale a quella chiamata ausiliaria hai applicato una radice quadrata al termine potenziale della serie, oltre ad una traslazione del centro che ovviamente non influisce sul raggio di convergenza. Per questo motivo i raggi di convergenza delle due serie si corrispondono mediante una radice quadrata. Infatti, dato un $z$ per cui l'ausiliaria converge la sua radice fa convergere la serie originale (con il centro traslato in 0) e viceversa, per verificarlo basta inserire il valore nell'espressione della serie.
Ciao.
A.
Ciao.
A.
Ah, ok. Ho capito. Grazie!
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