Raggio di convergenza di una serie... sto in alto mare.
Come dall'oggetto di questo topic oggi sto tentando di approcciare questo tipo di esercizi:
$\sum_{n=2}^{+\infty} ((((n+5)! + 6(n+1)!)/((n+5)! + 4(n+2)!))^(n^4) * x^n)$
Ora prima di affrontare questo genere di calcoli volevo delle delucidazioni sulla teoria... nel senso non ho ben capito cosa è il raggio di convergenza di una serie di potenze:
$\sum_{n=2}^{+\infty} a_{n} x^n$
Queste serie di potenze sono “centrate” in un generico punto $x_{0} in RR$ e la potenza n-esima viene
moltiplicata per un coefficiente reale $a_{n}$ appunto... quindi quando uno intende andare a calcolare tale raggio si intende la distanza $x - x_{0}$ ?
Quindi per calcolare tale raggio bisogna calcolare il:
$Lim_{n -> +\infty} |a_{n+1}|/|a_{n}|$
$Lim_{n -> +\infty} sqrt(|a_{n}|)$ (come si scrive radice ennesima)?
Ok, fin qui va tutto bene... ora i problemi vengono quando provo a fare un po' di esercizi tipo quello di sopra appunto... e comunque non ho ben capito quando usare una o l'altra formula... è poco chiaro, sia sul mio libro di testo che sulle dispense del mio professore. Anche se guardando gli esercizi mi redo conto che forse ho anche dei problemi di tipo puramente algebrico... magari più tardi provo a scrivere qualcos'altro, adesso ci sono i soliti casini con la rete dell'università e sarà un miracolo se riuscirò a postare questo intervento.
$\sum_{n=2}^{+\infty} ((((n+5)! + 6(n+1)!)/((n+5)! + 4(n+2)!))^(n^4) * x^n)$
Ora prima di affrontare questo genere di calcoli volevo delle delucidazioni sulla teoria... nel senso non ho ben capito cosa è il raggio di convergenza di una serie di potenze:
$\sum_{n=2}^{+\infty} a_{n} x^n$
Queste serie di potenze sono “centrate” in un generico punto $x_{0} in RR$ e la potenza n-esima viene
moltiplicata per un coefficiente reale $a_{n}$ appunto... quindi quando uno intende andare a calcolare tale raggio si intende la distanza $x - x_{0}$ ?
Quindi per calcolare tale raggio bisogna calcolare il:
$Lim_{n -> +\infty} |a_{n+1}|/|a_{n}|$
$Lim_{n -> +\infty} sqrt(|a_{n}|)$ (come si scrive radice ennesima)?
Ok, fin qui va tutto bene... ora i problemi vengono quando provo a fare un po' di esercizi tipo quello di sopra appunto... e comunque non ho ben capito quando usare una o l'altra formula... è poco chiaro, sia sul mio libro di testo che sulle dispense del mio professore. Anche se guardando gli esercizi mi redo conto che forse ho anche dei problemi di tipo puramente algebrico... magari più tardi provo a scrivere qualcos'altro, adesso ci sono i soliti casini con la rete dell'università e sarà un miracolo se riuscirò a postare questo intervento.
Risposte
il raggio di convergenza ha questo significato, in poche parole... se tu al posto della x ci metti una variabile con modulo minore del raggio di convergenza la serie, diventata ora puramente "numerica" tende ad un valore finito.... (per modulo si intende la distanza tra i complessi, che nel caso reale assume il solito significato)... se metti una variabile con modulo maggiore la serie diverge, sul bordo chissà?
Usare quei due limiti è equivalente: si può dimostrare che se la radice dà un limite L anche il rapporto darà L.... (attenzione però che se il rapporto non ha limite la radice lo può avere)....
Usare quei due limiti è equivalente: si può dimostrare che se la radice dà un limite L anche il rapporto darà L.... (attenzione però che se il rapporto non ha limite la radice lo può avere)....
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