Raggio di convergenza di una serie di potenze in C?
Salve a tutti. Ho qualche problema a determinare il raggio di questa serie di potenze complessa
$sum_(n = \0)^{infty}4^{n}(z+3)^{4n}$
Mi verrebbe da usare il criterio della radice, per esempio
$lim_(n -> \infty) |root(n)(\4^{n}) |= 4$
$R=\frac{1}{4}$
Però mi viene un dubbio. Applicando la definizione la serie
$sum_(n = \0)^{infty}[4(z+3)^{4}]^{n}$
Converge quando
$|4(z+3)^{4}|<1$
Applicando passaggi algebrici, il risultato sarebbe $R=\frac{1}{\sqrt{\2^{-1}}+3}$
Qual'è il ragionamento corretto? Grazie mille.
$sum_(n = \0)^{infty}4^{n}(z+3)^{4n}$
Mi verrebbe da usare il criterio della radice, per esempio
$lim_(n -> \infty) |root(n)(\4^{n}) |= 4$
$R=\frac{1}{4}$
Però mi viene un dubbio. Applicando la definizione la serie
$sum_(n = \0)^{infty}[4(z+3)^{4}]^{n}$
Converge quando
$|4(z+3)^{4}|<1$
Applicando passaggi algebrici, il risultato sarebbe $R=\frac{1}{\sqrt{\2^{-1}}+3}$
Qual'è il ragionamento corretto? Grazie mille.
Risposte
Nessuno dei due...
Il problema è che che hai sbagliato in ambo i casi perché hai individuato male la successione dei coefficienti della serie.
Infatti, prendendo \(a_n=4^n\), la serie individuata è:
\[
\sum 4^n\ (z+3)^n = 1+4(z+3)+16(z+3)^2+64(z+3)^3+\cdots
\]
che è ben diversa dalla quella assegnata, cioè:
\[
\sum 4^n\ (z+3)^{4n} = 1+4(z+3)^4+16(z+3)^8+64(z+3)^{12}+\cdots
\]
La successione dei coefficienti giusta per la tua serie è quindi data da:
\[
a_0=1,\ a_1=a_2= a_3=0,\ a_4=4,\ a_5=a_6=a_7 =0,\ a_8=16,\ a_9=a_{10}=a_{11}=0,\ a_{12}=64,\ldots
\]
ossia:
\[
a_k = \begin{cases} 4^{k/4} &\text{, se } k=4n \text{ per qualche } n\in \mathbb{N}\\
0 &\text{, altrimenti.}
\end{cases}
\]
Conseguentemente:
\[
\sqrt[k]{|a_k|}= \begin{cases} 4^{1/4} &\text{, se } k=4n \text{ per qualche } n\in \mathbb{N}\\
0 &\text{, altrimenti}
\end{cases}
\]
e perciò:
\[
\limsup_k \sqrt[k]{|a_k|} = 4^{1/4}=2^{1/2}\; ;
\]
per il teorema di Cauchy-Hadamard il r.d.c. della serie è \(R=2^{-1/2}\).
Inoltre, pur volendo operare riconducendo la serie a serie geometrica col passaggio \(\sum (4(z+3)^4)^n\), devi tener presente che il r.d.c. misura il "massimo" scostamento di \(z\) dal centro \(z_0=-3\) che puoi permetterti in modo da conservare la convergenza della serie: quindi quando imponi la condizione di convergenza:
\[
4|z+3|^4<1
\]
devi risolvere il tutto rispetto alla distanza di \(z\) dal centro \(-3\), i.e. rispetto alla quantità \(|z+3|\). In tal modo ottieni \(|z+3|<4^{-1/4}=2^{-1/2}\) e la quantità al secondo membro è proprio il r.d.c. della tua serie.
Il problema è che che hai sbagliato in ambo i casi perché hai individuato male la successione dei coefficienti della serie.
Infatti, prendendo \(a_n=4^n\), la serie individuata è:
\[
\sum 4^n\ (z+3)^n = 1+4(z+3)+16(z+3)^2+64(z+3)^3+\cdots
\]
che è ben diversa dalla quella assegnata, cioè:
\[
\sum 4^n\ (z+3)^{4n} = 1+4(z+3)^4+16(z+3)^8+64(z+3)^{12}+\cdots
\]
La successione dei coefficienti giusta per la tua serie è quindi data da:
\[
a_0=1,\ a_1=a_2= a_3=0,\ a_4=4,\ a_5=a_6=a_7 =0,\ a_8=16,\ a_9=a_{10}=a_{11}=0,\ a_{12}=64,\ldots
\]
ossia:
\[
a_k = \begin{cases} 4^{k/4} &\text{, se } k=4n \text{ per qualche } n\in \mathbb{N}\\
0 &\text{, altrimenti.}
\end{cases}
\]
Conseguentemente:
\[
\sqrt[k]{|a_k|}= \begin{cases} 4^{1/4} &\text{, se } k=4n \text{ per qualche } n\in \mathbb{N}\\
0 &\text{, altrimenti}
\end{cases}
\]
e perciò:
\[
\limsup_k \sqrt[k]{|a_k|} = 4^{1/4}=2^{1/2}\; ;
\]
per il teorema di Cauchy-Hadamard il r.d.c. della serie è \(R=2^{-1/2}\).
Inoltre, pur volendo operare riconducendo la serie a serie geometrica col passaggio \(\sum (4(z+3)^4)^n\), devi tener presente che il r.d.c. misura il "massimo" scostamento di \(z\) dal centro \(z_0=-3\) che puoi permetterti in modo da conservare la convergenza della serie: quindi quando imponi la condizione di convergenza:
\[
4|z+3|^4<1
\]
devi risolvere il tutto rispetto alla distanza di \(z\) dal centro \(-3\), i.e. rispetto alla quantità \(|z+3|\). In tal modo ottieni \(|z+3|<4^{-1/4}=2^{-1/2}\) e la quantità al secondo membro è proprio il r.d.c. della tua serie.
"gugo82":
Nessuno dei due...
Il problema è che che hai sbagliato in ambo i casi perché hai individuato male la successione dei coefficienti della serie.
Infatti, prendendo \(a_n=4^n\), la serie individuata è:
\[
\sum 4^n\ (z+3)^n = 1+4(z+3)+16(z+3)^2+64(z+3)^3+\cdots
\]
che è ben diversa dalla quella assegnata, cioè:
\[
\sum 4^n\ (z+3)^{4n} = 1+4(z+3)^4+16(z+3)^8+64(z+3)^{12}+\cdots
\]
La successione dei coefficienti giusta per la tua serie è quindi data da:
\[
a_0=1,\ a_1=a_2= a_3=0,\ a_4=4,\ a_5=a_6=a_7 =0,\ a_8=16,\ a_9=a_{10}=a_{11}=0,\ a_{12}=64,\ldots
\]
ossia:
\[
a_k = \begin{cases} 4^{k/4} &\text{, se } k=4n \text{ per qualche } n\in \mathbb{N}\\
0 &\text{, altrimenti.}
\end{cases}
\]
Conseguentemente:
\[
\sqrt[k]{|a_k|}= \begin{cases} 4^{1/4} &\text{, se } k=4n \text{ per qualche } n\in \mathbb{N}\\
0 &\text{, altrimenti}
\end{cases}
\]
e perciò:
\[
\limsup_k \sqrt[k]{|a_k|} = 4^{1/4}=2^{1/2}\; ;
\]
per il teorema di Cauchy-Hadamard il r.d.c. della serie è \(R=2^{-1/2}\).
Inoltre, pur volendo operare riconducendo la serie a serie geometrica col passaggio \(\sum (4(z+3)^4)^n\), devi tener presente che il r.d.c. misura il "massimo" scostamento di \(z\) dal centro \(z_0=-3\) che puoi permetterti in modo da conservare la convergenza della serie: quindi quando imponi la condizione di convergenza:
\[
4|z+3|^4<1
\]
devi risolvere il tutto rispetto alla distanza di \(z\) dal centro \(-3\), i.e. rispetto alla quantità \(|z+3|\). In tal modo ottieni \(|z+3|<4^{-1/4}=2^{-1/2}\) e la quantità al secondo membro è proprio il r.d.c. della tua serie.
Ti ringrazio molto per la risposta completa ed esaustiva. Ne approfitto per chiederti un'ultima cosa su un'altra serie
$sum_(n = \0)^{infty}3^{4n}(z-1)^{4n}$
Il mio $a_[n}$ è $3^{4n}$ oppure devo seguire un ragionamento analogo al precedente?
Grazie mille.
Pensaci un po'.
La cosa migliore da fare è sempre scriversi i primi termini della s.d.p... A quel punto i coefficienti vengono "da soli".
La cosa migliore da fare è sempre scriversi i primi termini della s.d.p... A quel punto i coefficienti vengono "da soli".
"gugo82":
Pensaci un po'.
La cosa migliore da fare è sempre scriversi i primi termini della s.d.p... A quel punto i coefficienti vengono "da soli".
Provo così..
$sum_(n = \0)^{infty}[3^4(z-1)^4]^{n}$
$3^4|z-1|^4<1,|z-1|^4<\frac{1}{3^{4}}$
$|z-1|<\frac{1}{3}$
Il risultato dovrebbe essere il raggio di convergenza. Che ne pensi? Grazie..
Questo va senz'altro bene.
Prova a fare il conto col teorema di Cauchy-Hadamard, adesso.
Prova a fare il conto col teorema di Cauchy-Hadamard, adesso.
"gugo82":
Questo va senz'altro bene.
Prova a fare il conto col teorema di Cauchy-Hadamard, adesso.
Ok, provo.
Sviluppo la serie per qualche $n$, ottenendo
$sum_(n = \0)^{\infty}3^{4n}(z-1)^{4n}=1+3^{4}(z-1)^{4}+3^{8}(z-1)^{8}+3^{12}(z-1)^{12}+... $
I coefficienti sono dati da:
$a_{0}=1,a_{1}=a_{2}=a_{3}=0,a_{4}=3^{4},a_{5}=a_{6}=a_{7}=0,a_{8}=3^{8},a_{9}=a_{10}=a_{11}=0,a_{12}=3^{12}$
Ottenendo un risultato analogo a quello della serie precedente che mi hai illustrato.
Ottengo però come risultato del criterio $R=3^{-\frac{1}{4}}$
Il ragionamento è corretto? Mi manca forse l'ultimo passo. Grazie.
"lo92muse":
Sviluppo la serie per qualche $n$, ottenendo
$sum_(n = \0)^{\infty}3^{4n}(z-1)^{4n}=1+3^{4}(z-1)^{4}+3^{8}(z-1)^{8}+3^{12}(z-1)^{12}+... $
I coefficienti sono dati da:
$a_{0}=1,a_{1}=a_{2}=a_{3}=0,a_{4}=3^{4},a_{5}=a_{6}=a_{7}=0,a_{8}=3^{8},a_{9}=a_{10}=a_{11}=0,a_{12}=3^{12}$
Ottenendo un risultato analogo a quello della serie precedente che mi hai illustrato.
Fin qui OK.
"lo92muse":
Ottengo però come risultato del criterio $R=3^{-\frac{1}{4}}$
Il ragionamento è corretto? Mi manca forse l'ultimo passo. Grazie.
Beh, hai:
\[
a_k = \begin{cases} 3^k &\text{, se } k=4n \text{ per qualche } n\in \mathbb{N}\\
0 &\text{, altrimenti}\ldots
\end{cases}
\]
Quindi come si scrive esplicitamente \(\sqrt[k]{|a_k|}\)?
Ed il teorema di C-H cosa ti restituisce?
"gugo82":
[quote="lo92muse"]Sviluppo la serie per qualche $n$, ottenendo
$sum_(n = \0)^{\infty}3^{4n}(z-1)^{4n}=1+3^{4}(z-1)^{4}+3^{8}(z-1)^{8}+3^{12}(z-1)^{12}+... $
I coefficienti sono dati da:
$a_{0}=1,a_{1}=a_{2}=a_{3}=0,a_{4}=3^{4},a_{5}=a_{6}=a_{7}=0,a_{8}=3^{8},a_{9}=a_{10}=a_{11}=0,a_{12}=3^{12}$
Ottenendo un risultato analogo a quello della serie precedente che mi hai illustrato.
Fin qui OK.
"lo92muse":
Ottengo però come risultato del criterio $R=3^{-\frac{1}{4}}$
Il ragionamento è corretto? Mi manca forse l'ultimo passo. Grazie.
Beh, hai:
\[
a_k = \begin{cases} 3^k &\text{, se } k=4n \text{ per qualche } n\in \mathbb{N}\\
0 &\text{, altrimenti}\ldots
\end{cases}
\]
Quindi come si scrive esplicitamente \(\sqrt[k]{|a_k|}\)?
Ed il teorema di C-H cosa ti restituisce?[/quote]
Tutto ok, non capivo la differenza tra la prima e la seconda serie per gli ak. Le espressioni erano molto simili, e ho preso lo stesso modo di vedere gli ak, sostituendo 3 al posto di 4, seguendo lo stesso ragionamento.
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