Raggio di convergenza di due serie di potenze.
Ciao a tutti. Ho un dubbio sul raggio di convergenza delle seguenti due serie:
1) $\sum_{n=1}^\infty\frac{(x + 2)^{n}n!}{(n + 1)^{n}}$
2) $\sum_{n=0}^\infty\(frac{n + 1}{n})^{n^2}(x-1)^n$ = $\sum_{n=0}^\infty\(1 + 1/n)^{n^2}(x-1)^n$
Nel caso 1), a me sembrerebbe evidente che il raggio in questione e' "e": per trovarlo ho infatti calcolato il limite del rapporto seguente:
$\lim_{n \to \infty}((n!)/(n + 1)^n)/(((n + 1)!)/(n + 2)^{n + 1})$ = $\lim_{n \to \infty}(n + 2)^{n + 1}/(n + 1)^{n + 1}$
che dovrebbe essere pari a "e"
Nel caso 2), invece, il raggio mi sembrerebbe infinito e quindi coincidente con $RR$: qui ho calcolato infatti il limite:
$\lim_{n \to \infty}((1 + 1/n)^{n^2})/((1 + 1/(n + 1))^{(n + 1)^2}$
che dovrebbe essere pari a infinito.
Il mio dubbio deriva dal fatto che il libro sul quale sto studiando nel primo caso afferma che il raggio e' infinito, nel secondo che e' pari a $1/e$: giuro che non capisco: qualcosa che mi sfugge?
1) $\sum_{n=1}^\infty\frac{(x + 2)^{n}n!}{(n + 1)^{n}}$
2) $\sum_{n=0}^\infty\(frac{n + 1}{n})^{n^2}(x-1)^n$ = $\sum_{n=0}^\infty\(1 + 1/n)^{n^2}(x-1)^n$
Nel caso 1), a me sembrerebbe evidente che il raggio in questione e' "e": per trovarlo ho infatti calcolato il limite del rapporto seguente:
$\lim_{n \to \infty}((n!)/(n + 1)^n)/(((n + 1)!)/(n + 2)^{n + 1})$ = $\lim_{n \to \infty}(n + 2)^{n + 1}/(n + 1)^{n + 1}$
che dovrebbe essere pari a "e"
Nel caso 2), invece, il raggio mi sembrerebbe infinito e quindi coincidente con $RR$: qui ho calcolato infatti il limite:
$\lim_{n \to \infty}((1 + 1/n)^{n^2})/((1 + 1/(n + 1))^{(n + 1)^2}$
che dovrebbe essere pari a infinito.
Il mio dubbio deriva dal fatto che il libro sul quale sto studiando nel primo caso afferma che il raggio e' infinito, nel secondo che e' pari a $1/e$: giuro che non capisco: qualcosa che mi sfugge?
Risposte
Attenzione che al primo limite hai mancato una [tex]$n$[/tex] al denominatore!
Perdonami, ma in che senso ho "mancato una n al denominatore"? Ho rifatto i calcoli, e non mi sembra. Ecco i passaggi fondamentali.
$\lim_{n \to \infty}((n!)/(n + 1)^n)/(((n + 1)!)/(n + 2)^{n + 1})$ = $\lim_{n \to \infty}(n!)/(n + 1)^n(n + 2)^{n + 1}/((n + 1)!)$ = $\lim_{n \to \infty}(n!)/(n + 1)^n(n + 2)^{n + 1}/((n + 1) *n!)$ = $\lim_{n \to \infty}(n!)/(n!)(n + 2)^{n + 1}/(n + 1)^{n + 1}$ = $\lim_{n \to \infty}(n + 2)^{n + 1}/(n + 1)^{n + 1}$
O no? C'e' ancora qualcosa che non vedo?
Devo invece rettificarmi da solo per quanto riguarda la seconda serie: dopo piu' attenta meditazione, in effetti ho verificato che, applicando il criterio della radice, si ottiene $1/e$ come raggio di convergenza: evidentemente sbagliavo qualcosa nel calcolo del limite del rapporto dei coefficienti, limite - devo dire - non semplice per le mie modeste abilita' di calcolo.
$\lim_{n \to \infty}((n!)/(n + 1)^n)/(((n + 1)!)/(n + 2)^{n + 1})$ = $\lim_{n \to \infty}(n!)/(n + 1)^n(n + 2)^{n + 1}/((n + 1)!)$ = $\lim_{n \to \infty}(n!)/(n + 1)^n(n + 2)^{n + 1}/((n + 1) *n!)$ = $\lim_{n \to \infty}(n!)/(n!)(n + 2)^{n + 1}/(n + 1)^{n + 1}$ = $\lim_{n \to \infty}(n + 2)^{n + 1}/(n + 1)^{n + 1}$
O no? C'e' ancora qualcosa che non vedo?
Devo invece rettificarmi da solo per quanto riguarda la seconda serie: dopo piu' attenta meditazione, in effetti ho verificato che, applicando il criterio della radice, si ottiene $1/e$ come raggio di convergenza: evidentemente sbagliavo qualcosa nel calcolo del limite del rapporto dei coefficienti, limite - devo dire - non semplice per le mie modeste abilita' di calcolo.
Sono io che ho fatto male i conti! 
La mia giustifica è che li odio! 
Vedendo meglio il tuo errore è che calcoli [tex]$\lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}$[/tex] quando poi il criterio del confronto ti chiede di calcolare [tex]$\lim_{n\to+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$[/tex].
Abbiamo fatto un errore per ciascuno... siamo pari
La mia giustifica è che li odio! Vedendo meglio il tuo errore è che calcoli [tex]$\lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}$[/tex] quando poi il criterio del confronto ti chiede di calcolare [tex]$\lim_{n\to+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$[/tex].
Abbiamo fatto un errore per ciascuno... siamo pari
Ah, ok. Comunque anch'io odio i calcoli: siamo pienamente giustificati entrambi :-D .
Ad ogni modo, per quanto riguarda il criterio del confronto, il fatto e' che deve essere applicato nei termini da te descritti solo se applicato all'intero termine n-esimo, x compresa (che in tal caso viene ipotizzata come costante fissa); il procedimento da me utilizzato, invece, e' una (dimostrabile) conseguenza del criterio del confronto, che pero' coinvolge nel calcolo solo il coefficiente, ed esclude la "x": ecco il perche' della inversione che hai osservato: non si tratta - purtroppo - di errore o svista, ma di qualcosa di leggermente diverso rispetto al criterio del confronto, qualcosa che, in linea teorica, prevede il calcolo del limite proprio nei termini da me descritti: $\lim_{n \to \infty}c_n/c_(n + 1)$, dove $c_n$ e' appunto il coefficiente n-esimo (esclusa la x). Insomma, mi sa tanto che questa volta sbaglia il mio libro di testo, anche se mi rimane il tarlo, non foss'altro che per "follia del dubbio".
P.S.: A Cambridge, Turing era noto fra i suoi compagni di corso perche' sbagliava sempre i calcoli, che da buon matematico odiava: vuoi vedere che me e te siamo destinati ad elevarci fino alle sue vette? ;-)
Ad ogni modo, per quanto riguarda il criterio del confronto, il fatto e' che deve essere applicato nei termini da te descritti solo se applicato all'intero termine n-esimo, x compresa (che in tal caso viene ipotizzata come costante fissa); il procedimento da me utilizzato, invece, e' una (dimostrabile) conseguenza del criterio del confronto, che pero' coinvolge nel calcolo solo il coefficiente, ed esclude la "x": ecco il perche' della inversione che hai osservato: non si tratta - purtroppo - di errore o svista, ma di qualcosa di leggermente diverso rispetto al criterio del confronto, qualcosa che, in linea teorica, prevede il calcolo del limite proprio nei termini da me descritti: $\lim_{n \to \infty}c_n/c_(n + 1)$, dove $c_n$ e' appunto il coefficiente n-esimo (esclusa la x). Insomma, mi sa tanto che questa volta sbaglia il mio libro di testo, anche se mi rimane il tarlo, non foss'altro che per "follia del dubbio".
P.S.: A Cambridge, Turing era noto fra i suoi compagni di corso perche' sbagliava sempre i calcoli, che da buon matematico odiava: vuoi vedere che me e te siamo destinati ad elevarci fino alle sue vette? ;-)
Può essere che il libro sbagli, studia la convergenza per un valore della $x$ che tu affermi non essere "buono" e vedi un pò.
OUT OF SELF: Turing ed io siamo gay ma a me interessano i gruppi e non la teoria matematica della macchine.
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