Raggio di convergenza delle serie di potenze

[smaug1]

$\sum_(n=1)^oo (n\ \sin (1/(2n)))^n\ x^n$

Allora userei il criterio della radice ma so che in questi deve essere usato il reciproco diciamo, mi spiego:

$R = 1 / (\root(n)(n\ \sin (1/(2n)))^n) = 1 / (n\ \sin (1/(2n))) = 2 $

Quindi converge per $x$ tra $-2$ e $+2$ ma non riesco a capire come vedere se inclusi o esclusi!

Grazie mille

[Zero87]

Prova ad iniziare con il sostituire a $x$ i valori $-2$ e $2$, per poi vedere cosa accade alla serie numerica che ottieni.

[smaug1]

dici per esempio di studiare $\sum_(n=1)^oo (n\ \sin (1/(2n)))^n\ 2^n$ ?

Una cosa importante ma se $a_n = (2n)!$allora $a_(n+1) = ?$ piccolo dubbio

[Zero87]

"smaug":dici per esempio di studiare $\sum_(n=1)^oo (n\ \sin (1/(2n)))^n\ 2^n$ ?

Una cosa importante ma se $a_n = (2n)!$allora $a_(n+1) = ?$ piccolo dubbio

Sì, o almeno farei così.
Se $a_n =(2n)!$ allora $a_(n+1) = (2(n+1))! =(2n+2)!$... adesso ho anche io qualche dubbio

... no, va beh, dai, diciamo che sono sicuro abbastanza

[smaug1]

$sum_(n=1)^oo ((2n)!)/(n! n^n) x^n$

col criterio arrivo qui $((2n)!)/(n! n^n) ((n+1)! (n+1)^(n+1)) / ((2n+2)!)$

però non mi viene $e/4$

[Zero87]

Puoi vedere se cambia qualcosa semplificando (non è detto sia così).

Per esempio $\frac{(2n)!}{(2n+2)!}=\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}$,
ho usato il fatto che $(2n+2)! =(2n)! (2n+1)(2n+2)$.