Raggio di convergenza

[Tycos]

Salve a tutti,

ho la serie $\sum_{n=1}^oo (x^n)/(n!)$ e devo trovare il raggio di convergenza

applico il criterio del rapporto e noto che il $\lim_{n \to \infty}a_n/(a_n+1) = oo$

quindi il raggio è 0 per il teorema di D'Alembert.

Sul libro il risultato è $oo$ ....quindi avrò sbagliato qualcosa... mi potete aiutare?

[NightKnight1]

è la serie esponenziale che converge per ogni x reale!

comunque se vuoi usare il teorema di D'Alembert (anche se si chiama teor. di Cauchy-Hadamard) devi calcolare:
$ L = maxlim_{n->+oo} ^n \sqrt(|a_n|) $
allora il raggio di convergenza della serie di potenze è $R = 1/L$.

Per calcolare L ci sono diversi modi:

1) se esiste il $lim_{n->+oo} ^n \sqrt(|a_n|)$ allora questo limite è uguale a $L$.


2) se esiste il $lim_{n->+oo} |a_{n+1}/a_n|$ allora questo limite è uguale a $L$ (IV TEOREMA DI CESARO)

Nel nostro caso $a_n=1/(n!)$ e si vede che $lim_{n->+oo} |a_{n+1}/a_n|=lim_{n->+oo} (1/((n+1)!))/(1/(n!))=lim_{n->+oo} (n!)/((n+1)!)=lim_{n->+oo} 1/(n+1)=0$. Allora usando il punto 2), L = 0 e allora per il teor di Cauchy-Hadamard il raggio di convergenza della serie è $R = 1/L = +oo$.