Ragazzi questa è una traccia di un esame di analisi 1 potreste aiutarmi a risolvere i punti? grazie mille

[marika.bas]

f(x) = $ (x+1)*sqrt[(x-1)/(x+1)] $
1. dire se il dominio di f è aperto, limitato, compatto.
2. dire se f è prolungabile in qualche punto
3. determinare gli asintoti
4. studiare la monotonia della funzione
5. dire motivando la risposta se il teorema degli zeri è applicabile ad f nel dominio o nei suoi sottoinsiemi.

[poncelet]

Dovresti proporre una tua soluzione. Scrivi il dominio di $f$ e le definizioni di insieme aperto, di insieme limitato e di insieme compatto e vedi se si possono applicare al tuo dominio.

[gugo82]

Consiglio vivamente alla nuova utente un'attenta lettura del regolamento (in particolare, 1.2-1.5 e sezione 3) e di questo avviso, nonché una revisione del post precedente in base ai canoni della netiquette vigente.

[marika.bas]

l'ho fatto cartaceo ma volevo un confronto.. ho letto il regolamento! non è un problema postare i miei risultati
1) dominio: ]-∞; -1[U[1;+∞[ poi ]-∞; -1[ è aperto e limitato superiormente; [1;+∞[ è semiaperto e limitato inferiormente; non è compatto.
2) non ho idea di come si faccia
3) mi esce che non esiste nè asintoto orizzontale nè obliquo, il verticale mi blocco nel calcolo del limite
4) monotonia: come derivata mi esce $sqrt[(x-1)/(x+1)] + (x^2+2x+1)/(2x-2)* sqrt[(x-1)/(x+1)] $
lo pongo $>=0$ ma non so se è giusta..
5) non ho idea di come si verifica il teorema degli zeri, pur conoscendolo.
per tutto ciò volevo un confronto con ciò che usciva a voi... grazie

[marika.bas]

nessuno può aiutarmi con questo esercizio?

[Brancaleone1]

$f(x) = (x+1)*sqrt[(x-1)/(x+1)] $

"Marimilly":
2. dire se f è prolungabile in qualche punto
[...]
2) non ho idea di come si faccia

Il dominio come hai trovato te è $(-oo,-1] cup (1,+oo)$. Devi ora osservare se $lim_(x->-oo)$, $lim_(x->1)$ e $lim_(x->+oo)$ tendano ad un valore finito. In caso affermativo la funzione può essere prolungata per continuità in quel punto assumendo il valore del limite calcolato nel medesimo punto.

"Marimilly":
4. studiare la monotonia della funzione
[...]
4) monotonia: come derivata mi esce $sqrt[(x-1)/(x+1)] + (x^2+2x+1)/(2x-2)* sqrt[(x-1)/(x+1)] $

No, la derivata corretta è:

$D[(x+1)*sqrt[(x-1)/(x+1)]]=D[(x+1)]*sqrt[(x-1)/(x+1)]+(x+1)*D[sqrt[(x-1)/(x+1)]]=$

$=sqrt[(x-1)/(x+1)]+(x+1)*(D[(x-1)/(x+1)])/(2sqrt[(x-1)/(x+1)])=sqrt[(x-1)/(x+1)]+(x+1)*(((x+1)-(x-1))/(x+1)^2)/(2sqrt[(x-1)/(x+1)])=$

$=sqrt[(x-1)/(x+1)]+1/((x+1)*sqrt[(x-1)/(x+1)])=sqrt[(x-1)/(x+1)](1+1/((x+1)(x-1)/(x+1)))=$

$=sqrt[(x-1)/(x+1)](1+1/(x-1))$

[gugo82]

Noto una cosa, per semplificare i conti.

La funzione è definita in \(]-\infty ,-1[\cup [1,\infty[\).
Ora, per \(x\geq 1\) si ha \(x+1>0\), dunque:
\[
\begin{split}
f(x) &= \frac{x+1}{\sqrt{x+1}}\ \sqrt{x-1} \\
&= \sqrt{(x+1)(x-1)}\; ;
\end{split}
\]
d'altra parte, per \(x<-1\) si ha \(x+1<0\), dunque:
\[
\begin{split}
f(x) &=(x+1)\ \sqrt{\frac{-(x-1)}{-(x+1)}} \\
&= - \frac{-(x+1)}{\sqrt{-(x+1)}}\ \sqrt{1-x} \\
&= -\sqrt{-(x+1)(1-x)} \\
&= -\sqrt{(x+1)(x-1)}\; .
\end{split}
\]
Conseguentemente si può scrivere pure:
\[
\begin{split}
f(x) &= \begin{cases} \sqrt{x^2-1} &\text{, se } x\geq 1\\
-\sqrt{x^2-1} &\text{, se } x<-1
\end{cases}\\
&= \operatorname{sign} (x+1)\ \sqrt{x^2-1}
\end{split}
\]
e questa riscrittura aiuta a calcolare facilmente limiti ed asintoti (obliqui, che ci sono sicuramente!).