Radici quarte di un numero complesso
$ z=(-1+isqrt3)^4/(-1+i)^3 $
Ricordando che "il modulo del rapporto dei numeri complessi è il rapporto dei moduli" , ho calcolato il modulo comune a tutte le radici ed è pari a $2^(5/8)$
Poi ricordando che "l'argomento di un rapporto di numeri complessi è la differenza degli argomenti" ho calcolato:
$arg(-1+isqrt3)^4 =4[arctg(-sqrt3)+pi]=8/3pi$
$arg(-1+i)^3=3[arctg(-sqrt3)+pi]=2pi$
e quindi $arg((-1+isqrt3)^4/(-1+i)^3)=(8/3pi-2pi)= 2/3pi$
ed infine ho che $4theta=2/3pi -> theta=pi/6$
Il problema nasce qui perché cosìfacendo ottengo delle radici il cui valore si discosta di poco da quelli indicati da wolfram.
Invece se applico la proprietà delle potenze e cioè considero :
$arg[(-1+isqrt3)^4/(-1+i)^3]^(1/4)$ come $arg((-1+isqrt3)/(-1+i)^(3/4))$
ottengo delle radici i cui valori sono precisissimi.
Mi chiedo: non dovrei ottenere lo stesso risultato?
Osservazione: il primo procedimento è quello utilizzato dal prof, il secondo è pensato da me per minimizzare i conti
Ricordando che "il modulo del rapporto dei numeri complessi è il rapporto dei moduli" , ho calcolato il modulo comune a tutte le radici ed è pari a $2^(5/8)$
Poi ricordando che "l'argomento di un rapporto di numeri complessi è la differenza degli argomenti" ho calcolato:
$arg(-1+isqrt3)^4 =4[arctg(-sqrt3)+pi]=8/3pi$
$arg(-1+i)^3=3[arctg(-sqrt3)+pi]=2pi$
e quindi $arg((-1+isqrt3)^4/(-1+i)^3)=(8/3pi-2pi)= 2/3pi$
ed infine ho che $4theta=2/3pi -> theta=pi/6$
Il problema nasce qui perché cosìfacendo ottengo delle radici il cui valore si discosta di poco da quelli indicati da wolfram.
Invece se applico la proprietà delle potenze e cioè considero :
$arg[(-1+isqrt3)^4/(-1+i)^3]^(1/4)$ come $arg((-1+isqrt3)/(-1+i)^(3/4))$
ottengo delle radici i cui valori sono precisissimi.
Mi chiedo: non dovrei ottenere lo stesso risultato?
Osservazione: il primo procedimento è quello utilizzato dal prof, il secondo è pensato da me per minimizzare i conti
Risposte
Premetto di non essere un guru della matematica però, essendo questa una tipologia di esercizio che mi interessa, ho provato a svolgerlo e non mi trovo con questo passaggio.
Infatti io mi trovo $ 9/4 pi $
$ cos theta=-1/sqrt2 = -sqrt2/2 $
$ sen theta=1/sqrt2 = sqrt2/2 $
Quindi $ theta = 3/4 pi $ ed essendo un argomento elevato al cubo $ theta= 9/4 pi $
Ora non so che metodo usi tu, ma credo sfrutti il fatto che $ tg x=(senx)/cosx $
Ad ogni modo non mi trovo con quell' $ arctg(-sqrt3) $ poichè a me verrebbe $ arctg(-1) $
Prova a vedere se effettivamente l'errore sta lì ed è per questo che non ti trovi coi risultati di wolfram.
Comunque ci tengo a precisare che è alta la possibilità che anche io stia sbagliando, essendo uno studente come te.
"pepp1995":
$ arg(-1+i)^3=3[arctg(-sqrt3)+pi]=2pi $
Infatti io mi trovo $ 9/4 pi $
$ cos theta=-1/sqrt2 = -sqrt2/2 $
$ sen theta=1/sqrt2 = sqrt2/2 $
Quindi $ theta = 3/4 pi $ ed essendo un argomento elevato al cubo $ theta= 9/4 pi $
Ora non so che metodo usi tu, ma credo sfrutti il fatto che $ tg x=(senx)/cosx $
Ad ogni modo non mi trovo con quell' $ arctg(-sqrt3) $ poichè a me verrebbe $ arctg(-1) $
Prova a vedere se effettivamente l'errore sta lì ed è per questo che non ti trovi coi risultati di wolfram.
Comunque ci tengo a precisare che è alta la possibilità che anche io stia sbagliando, essendo uno studente come te.
"Tr4mster":
Premetto di non essere un guru della matematica però, essendo questa una tipologia di esercizio che mi interessa, ho provato a svolgerlo e non mi trovo con questo passaggio.
[quote="pepp1995"]$ arg(-1+i)^3=3[arctg(-sqrt3)+pi]=2pi $
Infatti io mi trovo $ 9/4 pi $
$ cos theta=-1/sqrt2 = -sqrt2/2 $
$ sen theta=1/sqrt2 = sqrt2/2 $
Quindi $ theta = 3/4 pi $ ed essendo un argomento elevato al cubo $ theta= 9/4 pi $
Ora non so che metodo usi tu, ma credo sfrutti il fatto che $ tg x=(senx)/cosx $
Ad ogni modo non mi trovo con quell' $ arctg(-sqrt3) $ poichè a me verrebbe $ arctg(-1) $
Prova a vedere se effettivamente l'errore sta lì ed è per questo che non ti trovi coi risultati di wolfram.
Comunque ci tengo a precisare che è alta la possibilità che anche io stia sbagliando, essendo uno studente come te.
[/quote]Si hai ragione !
Ora mi trovo , grazie mille =)
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