Radici positive di un'equazione polinomiale con parametro
Ciao a tutti,
vorrei chiedervi dei metodi di risoluzione del seguente esercizio:
Trovare per quali valori del parametro K l'equazione $x^3+x^2+3=Kx$ ammette soluzioni positive.
Io ho provato a svolgerlo per via grafica, isolando la parabola cubica dal resto, ovvero $x^3=-x^2+Kx-3$ e imponendo appunto che ci fossero dei punti di intersezione con x positiva tra le due curve.
Sono partito dalla condizione limite di tangenza tra le 2 curve, verificata per x=1 e K=5.
Ma di lì, come faccio a sapere come si muove la parabola "mobile" al variare di K, in modo da poter dire con certezza se ci sono o no intersezioni positive?
Ci sono poi altri metodi più facili di risoluzione?
Grazie mille del vostro aiuto.
vorrei chiedervi dei metodi di risoluzione del seguente esercizio:
Trovare per quali valori del parametro K l'equazione $x^3+x^2+3=Kx$ ammette soluzioni positive.
Io ho provato a svolgerlo per via grafica, isolando la parabola cubica dal resto, ovvero $x^3=-x^2+Kx-3$ e imponendo appunto che ci fossero dei punti di intersezione con x positiva tra le due curve.
Sono partito dalla condizione limite di tangenza tra le 2 curve, verificata per x=1 e K=5.
Ma di lì, come faccio a sapere come si muove la parabola "mobile" al variare di K, in modo da poter dire con certezza se ci sono o no intersezioni positive?
Ci sono poi altri metodi più facili di risoluzione?
Grazie mille del vostro aiuto.
Risposte
Ciao! Che "strumenti" di analisi possiedi? Il problema è equivalente a determinare gli zeri della funzione $f_K:(0,\infty) \to \mathbb{R}$ definita ponendo $f_K(x):=x^3+x^2-Kx+3$ al variare del parametro $K$; mi sembra fattibile con gli strumenti base dell'analisi.
Innanzitutto, noterei che deve essere $K>0$ in quanto, dato che siamo interessati alle radici positive (dunque $x>0$), se $K \leq 0$ allora è $-Kx \geq 0$ e perciò $(x>0 \ \text{e} \ K \leq 0) \implies x^3+x^2-Kx+3>3>0$ e perciò $f_K$ non si annulla mai per $x>0$ se $K \leq 0$.
Proverei poi a studiare il segno della derivata prima al variare di $K>0$ per eventuali intervalli di monotonia, dato che sembra possibile visto che la derivata è un polinomio di secondo grado: hai che $f_{K}'(x)=3x^2+2x-K$. Non ho fatto i conti fino in fondo, ma sostanzialmente l'idea è che, al variare di $K$, vediamo se $f_K$ ha un minimo positivo (e allora non ci sono radici) oppure ha un minimo negativo e, in base a come cambia monotonia, deduciamo altre informazioni sul numero di radici positive.
Noterei poi che $f_K(x) \to 3$ per $x \to 0^+$ ed $f_K (x) \to \infty$ per $x \to \infty$ per ogni $K>0$: quindi $f_K$ è definitivamente positiva.
Innanzitutto, noterei che deve essere $K>0$ in quanto, dato che siamo interessati alle radici positive (dunque $x>0$), se $K \leq 0$ allora è $-Kx \geq 0$ e perciò $(x>0 \ \text{e} \ K \leq 0) \implies x^3+x^2-Kx+3>3>0$ e perciò $f_K$ non si annulla mai per $x>0$ se $K \leq 0$.
Proverei poi a studiare il segno della derivata prima al variare di $K>0$ per eventuali intervalli di monotonia, dato che sembra possibile visto che la derivata è un polinomio di secondo grado: hai che $f_{K}'(x)=3x^2+2x-K$. Non ho fatto i conti fino in fondo, ma sostanzialmente l'idea è che, al variare di $K$, vediamo se $f_K$ ha un minimo positivo (e allora non ci sono radici) oppure ha un minimo negativo e, in base a come cambia monotonia, deduciamo altre informazioni sul numero di radici positive.
Noterei poi che $f_K(x) \to 3$ per $x \to 0^+$ ed $f_K (x) \to \infty$ per $x \to \infty$ per ogni $K>0$: quindi $f_K$ è definitivamente positiva.
Ti ringrazio moltissimo per i tuoi consigli.
Proverò a risolverlo come suggerito da te ed effettivamente penso sia la strada più facile.
PS. Sono un ingegnere che a tempo perso si diverte nel cercare di risolvere esercizi di analisi 1...
Proverò a risolverlo come suggerito da te ed effettivamente penso sia la strada più facile.
PS. Sono un ingegnere che a tempo perso si diverte nel cercare di risolvere esercizi di analisi 1...
"Mephlip":
Proverei poi a studiare il segno della derivata prima al variare di $K>0$ per eventuali intervalli di monotonia, dato che sembra possibile visto che la derivata è un polinomio di secondo grado: hai che $f_{K}'(x)=3x^2+2x-K$. Non ho fatto i conti fino in fondo, ma sostanzialmente l'idea è che, al variare di $K$, vediamo se $f_K$ ha un minimo positivo (e allora non ci sono radici) oppure ha un minimo negativo e, in base a come cambia monotonia, deduciamo altre informazioni sul numero di radici positive.
Ottimo come sempre, ma qua semplificherei in "o c'è la soluzione o non c'è" senza altri studi.
Impostando il sistema:
$ { ( k=3x^2+2x ),( x^3+x^2-kx+3=0 ):} $
si ottiene $2x^3+x^2-3=0 rArr (x-1)(2x^2+3x+3)=0$
Quindi c'è un'unica soluzione reale positiva per $x=1$ e $k=5$
Per $k>5$ ci sono due soluzioni positive
P.S. Argomento meglio il passaggio finale che così sembra oscuro.
Date tutte le osservazioni fatte da Mephlip e considerando la forma $x^3+x^2-kx=-3$ ovvero l'intersezione fra una cubica che passa per l'origine cambiando di segno e $y=-3$, si deduce dal sistema che per $x=1$ e $k=5$ si ha un minimo tangente alla retta costante.
Svolgerlo per via grafica mi pareva una buona idea, ma anziché un fascio di parabole ho preferito lavorare con un fascio di rette. Quindi $y=x^3+x^2+3$ e $y=kx$ e ho iniziato con i calcoli ... scoprendo di essere finita nella soluzione del problema proposta da Bokonon.
Comunque volendo evitare l'analisi c'è anche la via della regola di Cartesio che fornisce il segno delle radici, è una soluzione più elementare anche se credo che chi ha posto l'esercizio avesse in mente gli argomenti suggeriti.
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