Radici polinomio complesso
Buongiorno,
mi trovo ad affrontare questo esercizio
determinare il numero di radici contate con la loro molteplicità del polinomio $ P(z)=z^4-6z+3 $ nell'anello $ 1<= |z| < 2$
sulla seconda parte dell'esercizio non ho problemi perchè una volta trovate le radici si prendono solo quelle il cui modulo verifica la condizione.
Il problema sta nella prima parte perchè non riesco a capire in nessun modo come si risolve, forse il mio problema sta proprio alla base: trovare le radici di un polinomio di grado4.
se avessi avuto $ -6z^2 $ al posto di $-6z $ allora avrei posto $z^2 =t$ e avrei svolto il solito procedimento.
Non riesco ad abbassarlo di grado con Ruffini.
Infine se pongo $ z=x+iy$ mi trovo punto e a capo perchè alla fine avrei, uguagliando a zero la parte immaginaria e quella reale separatamente, $ 16x^6 -12x^2 -9 =0 $ che comunque non so risolvere.
qualcuno ha dei suggerimenti da darmi??
mi trovo ad affrontare questo esercizio
determinare il numero di radici contate con la loro molteplicità del polinomio $ P(z)=z^4-6z+3 $ nell'anello $ 1<= |z| < 2$
sulla seconda parte dell'esercizio non ho problemi perchè una volta trovate le radici si prendono solo quelle il cui modulo verifica la condizione.
Il problema sta nella prima parte perchè non riesco a capire in nessun modo come si risolve, forse il mio problema sta proprio alla base: trovare le radici di un polinomio di grado4.
se avessi avuto $ -6z^2 $ al posto di $-6z $ allora avrei posto $z^2 =t$ e avrei svolto il solito procedimento.
Non riesco ad abbassarlo di grado con Ruffini.
Infine se pongo $ z=x+iy$ mi trovo punto e a capo perchè alla fine avrei, uguagliando a zero la parte immaginaria e quella reale separatamente, $ 16x^6 -12x^2 -9 =0 $ che comunque non so risolvere.
qualcuno ha dei suggerimenti da darmi??
Risposte
Forse in coordinate polari?
mmmmm è uguale perchè ponendo $ z=re^(ix) $ allora ottengo $r^4 e^(i4x) -6r e^(ix) +3=0 $ da cui ricavo $x=2k$ $\pi$ con $k$ $\in$ $ZZ$ e poi mi rimarebbe $r^4-6r+3$ che è appunto la parte che non riesco a risolvere!
Ma io dicevo in coordinate polari, non in forma esponenziale...
oddio hai ragione, ho confuso!!!
Vado di frettissima, sennò ti davo una risposta più decente.
Si tratta di applicare il teorema di Rouché
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Rouch%C3%A9
Ovviamente 2 volte:
- per la prima vedi quanti zeri ha in $|z|<2$;
- per la seconda vedi quanti zeri ha in $|z|\le 1$...
...infine al primo risultato sottrai il secondo e trovi il valore che ti interessa (cioè il numero di zeri nell'anello).
Ho tirato in ballo il teorema di Rouché perché nel corso che ho seguito di analisi complessa ho fatto dozzine di esercizi tutti uguali (e uguali al tuo) dopo che l'ho visto a lezione.
Ri-buon fine settimana ai forumisti (come ho detto ieri in una discussione nella sezione generale).
Si tratta di applicare il teorema di Rouché
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Rouch%C3%A9
Ovviamente 2 volte:
- per la prima vedi quanti zeri ha in $|z|<2$;
- per la seconda vedi quanti zeri ha in $|z|\le 1$...
...infine al primo risultato sottrai il secondo e trovi il valore che ti interessa (cioè il numero di zeri nell'anello).
Ho tirato in ballo il teorema di Rouché perché nel corso che ho seguito di analisi complessa ho fatto dozzine di esercizi tutti uguali (e uguali al tuo) dopo che l'ho visto a lezione.
Ri-buon fine settimana ai forumisti (come ho detto ieri in una discussione nella sezione generale).
grazie, ora proverò ho capito di che teorema si tratta!!! grazie mille ancora e buon fine settimana anche a te....purtroppo il mio lo passerò sui libri 
Propongo questa soluzione liceale:
1. Non ci sono radici \( \displaystyle |z| \geq 2\):
Se fosse \( \displaystyle z^4-6z-3=0\) e \( |z| \geq 2\) avremmo:
\( \displaystyle |z|^8=(6z-3)(6\overline{z}-3)=36 |z|^2-18(z+\overline{z})+9=36|z|^2-36 Re(z)+9\)
Se \( Re(z)>0\) : \( \displaystyle |z|^8 \leq 36|z|^2+9\) e quindi \( \displaystyle |z|^6 \leq 36+\frac{9}{|z|^2}\leq 36+\frac{9}{4}=\frac{153}{4}\) da cui \( \displaystyle |z| \leq \sqrt[6]{\frac{153}{4}}=1,83...<2\) assurdo
Se \(Re(z) <0\) : \( \displaystyle |z|^8=36|z|^2+36|Re(z)+9\leq 36|z|^2-36|z|+9|=9(2|z|+1)^2\) da cui
\(\displaystyle |z|^4 \leq 3(2|z|+1) \), \( \displaystyle |z|^3 \leq 3\left(2+\frac{1}{|z|}\right)\leq 3\left(2+\frac{1}{2}\right)=\frac{15}{2}\) e quindi \( \displaystyle |z| \leq \sqrt[3]{\frac{15}{2}}=1,95...<2\) assurdo
2. Esiste al più una radice \( |z| \leq 1\):
Se \( |z_1|\leq 1, |z_2|\leq 1\) fossero due radici distinte avremmo:
\(\displaystyle z_1^4-6z_1=z_2^4-6z_2\)
\( \displaystyle z_1^4-z_2^4=6(z_1-z_2)\)
\( \displaystyle (z_1^2+z_2^2)(z_1+z_2)=6\)
\( \displaystyle 6=|z_1^2+z_2^2||(z_1+z_2)|\leq (|z_1|^2+|z_2|^2)(|z_1|+|z_2|)\leq 4\) assurdo
3. esiste una radice reale in \( (0,1)\):
\( f(0)=3\), \( f(1)=-2\)
In definitiva abbiamo solo tre radici interne all'anello. Tutte le radici sono semplici come facilmente si ferifica-
1. Non ci sono radici \( \displaystyle |z| \geq 2\):
Se fosse \( \displaystyle z^4-6z-3=0\) e \( |z| \geq 2\) avremmo:
\( \displaystyle |z|^8=(6z-3)(6\overline{z}-3)=36 |z|^2-18(z+\overline{z})+9=36|z|^2-36 Re(z)+9\)
Se \( Re(z)>0\) : \( \displaystyle |z|^8 \leq 36|z|^2+9\) e quindi \( \displaystyle |z|^6 \leq 36+\frac{9}{|z|^2}\leq 36+\frac{9}{4}=\frac{153}{4}\) da cui \( \displaystyle |z| \leq \sqrt[6]{\frac{153}{4}}=1,83...<2\) assurdo
Se \(Re(z) <0\) : \( \displaystyle |z|^8=36|z|^2+36|Re(z)+9\leq 36|z|^2-36|z|+9|=9(2|z|+1)^2\) da cui
\(\displaystyle |z|^4 \leq 3(2|z|+1) \), \( \displaystyle |z|^3 \leq 3\left(2+\frac{1}{|z|}\right)\leq 3\left(2+\frac{1}{2}\right)=\frac{15}{2}\) e quindi \( \displaystyle |z| \leq \sqrt[3]{\frac{15}{2}}=1,95...<2\) assurdo
2. Esiste al più una radice \( |z| \leq 1\):
Se \( |z_1|\leq 1, |z_2|\leq 1\) fossero due radici distinte avremmo:
\(\displaystyle z_1^4-6z_1=z_2^4-6z_2\)
\( \displaystyle z_1^4-z_2^4=6(z_1-z_2)\)
\( \displaystyle (z_1^2+z_2^2)(z_1+z_2)=6\)
\( \displaystyle 6=|z_1^2+z_2^2||(z_1+z_2)|\leq (|z_1|^2+|z_2|^2)(|z_1|+|z_2|)\leq 4\) assurdo
3. esiste una radice reale in \( (0,1)\):
\( f(0)=3\), \( f(1)=-2\)
In definitiva abbiamo solo tre radici interne all'anello. Tutte le radici sono semplici come facilmente si ferifica-
Il teorema di Rouché ( già citato da Zero87 ) mi sembra il più indicato.
Poniamo :
\(\displaystyle F(z)=z^4, G(z)=-6z+3, H(z)=F(z)+G(z)=z^4-6z+3 \)
Sia poi C la circonferenza di centro l'origine degli assi e raggio 2. Si ha :
\(\displaystyle |F(2)|=16>9=|G(2)| \)
Per il citato teorema, H(z) ha, rispetto a F(z), lo stesso numero di radici interne a C. Queste radici sono 4 , coincidenti in z=0.
Poniamo analogamente :
\(\displaystyle F(z)=z^4-4z,G(z)=-2z+3,H(z)=F(z)+G(z)=z^4-6z+3 \)
Sia poi C' la circonferenza di centro l'origine degli assi e raggio 1. Si ha :
\(\displaystyle |F(1)|=3>1=|G(1)| \)
Come prima, H(z) ha, rispetto a F(z), lo stesso numero di radici interne a C'. In questo secondo caso, delle radici di
F(z), solo la radice z=0 è interna a C' , le altre sono esterne perché hanno modulo >1.
Raccogliendo, si può concludere che le radici di H(z), interne all'anello \(\displaystyle 1<=|z|<2 \), sono in numero di \(\displaystyle 4-1=3 \)
Poniamo :
\(\displaystyle F(z)=z^4, G(z)=-6z+3, H(z)=F(z)+G(z)=z^4-6z+3 \)
Sia poi C la circonferenza di centro l'origine degli assi e raggio 2. Si ha :
\(\displaystyle |F(2)|=16>9=|G(2)| \)
Per il citato teorema, H(z) ha, rispetto a F(z), lo stesso numero di radici interne a C. Queste radici sono 4 , coincidenti in z=0.
Poniamo analogamente :
\(\displaystyle F(z)=z^4-4z,G(z)=-2z+3,H(z)=F(z)+G(z)=z^4-6z+3 \)
Sia poi C' la circonferenza di centro l'origine degli assi e raggio 1. Si ha :
\(\displaystyle |F(1)|=3>1=|G(1)| \)
Come prima, H(z) ha, rispetto a F(z), lo stesso numero di radici interne a C'. In questo secondo caso, delle radici di
F(z), solo la radice z=0 è interna a C' , le altre sono esterne perché hanno modulo >1.
Raccogliendo, si può concludere che le radici di H(z), interne all'anello \(\displaystyle 1<=|z|<2 \), sono in numero di \(\displaystyle 4-1=3 \)
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