Radici numero complesso
Buongiorno, sto facendo questo esercizio, è corretto?
$z^4-1-i=0 \Rightarrow z= root(4)(1+i)
Ora risolvo in questo modo
$a=1 , b=1 \Rightarrow \rho=|a^2+b^2|=sqrt2$
$cos\theta=a/\rho=sqrt2/2 \Rightarrow \theta = \pi/4
$sin\theta=b/\rho=sqrt2/2 \Rightarrow \theta = \pi/4
Ora per la formula di de moivre ho
$z_0 = sqrt2[\pi/8+i\pi/8]$
$z_1= sqrt2[cos((\theta+2\pi)/4+isen((\theta+2\pi)/4]
$z_2,z_3 $ allo stesso modo.
qui pero mi blocco non mi ricodo come calcorare questi angoli,....una mano?
$z^4-1-i=0 \Rightarrow z= root(4)(1+i)
Ora risolvo in questo modo
$a=1 , b=1 \Rightarrow \rho=|a^2+b^2|=sqrt2$
$cos\theta=a/\rho=sqrt2/2 \Rightarrow \theta = \pi/4
$sin\theta=b/\rho=sqrt2/2 \Rightarrow \theta = \pi/4
Ora per la formula di de moivre ho
$z_0 = sqrt2[\pi/8+i\pi/8]$
$z_1= sqrt2[cos((\theta+2\pi)/4+isen((\theta+2\pi)/4]
$z_2,z_3 $ allo stesso modo.
qui pero mi blocco non mi ricodo come calcorare questi angoli,....una mano?
Risposte
scusa: $z^4 = 1+i => z = sqrt(1+i)$ ??
scusa radice 4 
sì ma non è solo lì, nei passaggi dopo hai considerato la radice quadrata (sennò lasciavo pure stare 
)
)
"Pdirac":
sì ma non è solo lì, nei passaggi dopo hai considerato la radice quadrata (sennò lasciavo pure stare
la radice quadrata è per il modulo del numero complesso...
Ma infatti non è corretto così:
Quello che fai (dovresti fare) è innanzitutto trovarti la forma trigonometrica per $z^4$, ovvero modulo/raggio e angoli come li hai trovati tu, più o meno. Qui bisognerebbe notare un paio di imprecisioni:
i)L'implicazione $cos\theta = sqrt(2)/2 => \theta = \pi/4$ come l'analoga per il seno è scorretta, perché incompleta: per il coseno devi aggiungere l'angolo simmetrico rispetto all'asse x ed aggiungere la periodicità $2k\pi$ e per il seno aggiungere la molteplicità $k\pi$. E' l'insieme delle due condizioni che ti identifica in modo univoco (a meno della periodicità $2k\pi$, che non è facoltativo aggiungere) un angolo, ovvero è quando metti a sistema le due condizioni che ottieni quello che vuoi.
ii)Fatto questo, la formula di De Moivre ti dice che la radice n-esima del tuo numero complesso in forma trigonometrica ha modulo pari alla radice n-esima del tuo modulo, e angoli pari a quelli da te trovati diviso n.
Dunque hai $z = (sqrt(2))^(1/4) (cos\alpha + isin\alpha)$ con $\alpha = \theta /4 = \pi/16 + (k\pi)/2$
Quello che fai (dovresti fare) è innanzitutto trovarti la forma trigonometrica per $z^4$, ovvero modulo/raggio e angoli come li hai trovati tu, più o meno. Qui bisognerebbe notare un paio di imprecisioni:
i)L'implicazione $cos\theta = sqrt(2)/2 => \theta = \pi/4$ come l'analoga per il seno è scorretta, perché incompleta: per il coseno devi aggiungere l'angolo simmetrico rispetto all'asse x ed aggiungere la periodicità $2k\pi$ e per il seno aggiungere la molteplicità $k\pi$. E' l'insieme delle due condizioni che ti identifica in modo univoco (a meno della periodicità $2k\pi$, che non è facoltativo aggiungere) un angolo, ovvero è quando metti a sistema le due condizioni che ottieni quello che vuoi.
ii)Fatto questo, la formula di De Moivre ti dice che la radice n-esima del tuo numero complesso in forma trigonometrica ha modulo pari alla radice n-esima del tuo modulo, e angoli pari a quelli da te trovati diviso n.
Dunque hai $z = (sqrt(2))^(1/4) (cos\alpha + isin\alpha)$ con $\alpha = \theta /4 = \pi/16 + (k\pi)/2$
Tra l'altro, ci sarebbe da sottolineare che la scrittura [tex]$z=\sqrt[n]{w},\ z,w\in\mathbb{C},\ n\in\mathbb{N}$[/tex] non ha molto senso, a causa del fatto che la funzione radice, definita sui numeri complessi, è "multi-valutata" a differenza della radice sui numeri reali che, per definizione, si intende unica (nel senso che se ne sceglie solo la determinazione positiva).
"ciampax":Come sarebbe la dicitura corretta? Si dovrebbe semplicemente sempre lasciare $z^n = ...$ ?
Tra l'altro, ci sarebbe da sottolineare che la scrittura [tex]$z=\sqrt[n]{w},\ z,w\in\mathbb{C},\ n\in\mathbb{N}$[/tex] non ha molto senso, a causa del fatto che la funzione radice, definita sui numeri complessi, è "multi-valutata" a differenza della radice sui numeri reali che, per definizione, si intende unica (nel senso che se ne sceglie solo la determinazione positiva).
quindi devo scrivere per gli angoli.
$cos\theta=a/\rho=sqrt2/2 \Rightarrow \theta = \pi/4+ 2k\pi
$sin\theta=b/\rho=sqrt2/2 \Rightarrow \theta = \pi/4+2k\pi
Mentre per il calcolo delle radici devo sostituire k con 0,1,2,3.
una volta trovato per esempio per k=2 $alpha=17\pi/16$ come continuo?
devo trovari il coseno di \alpha?... oppure posso lasciare la radice cosi indicata
$root(8)(2)(cos[17\pi/(16)]+ isin[(17\pi)/16])?
$cos\theta=a/\rho=sqrt2/2 \Rightarrow \theta = \pi/4+ 2k\pi
$sin\theta=b/\rho=sqrt2/2 \Rightarrow \theta = \pi/4+2k\pi
Mentre per il calcolo delle radici devo sostituire k con 0,1,2,3.
una volta trovato per esempio per k=2 $alpha=17\pi/16$ come continuo?
devo trovari il coseno di \alpha?... oppure posso lasciare la radice cosi indicata
$root(8)(2)(cos[17\pi/(16)]+ isin[(17\pi)/16])?
"kiblast":
$cos\theta=a/\rho=sqrt2/2 \Rightarrow \theta = \pi/4+ 2k\pi
$sin\theta=b/\rho=sqrt2/2 \Rightarrow \theta = \pi/4+2k\pi
Come detto poco sopra, l'implicazione ce l'hai a partire dal sistema delle due condizioni, non dalle due prese singolarmente che, scritte così, sono semplicemente sbagliate. Comprendo comunque la difficoltà a scrivere il sistema in Latex
"kiblast":vai con k=3...
Mentre per il calcolo delle radici devo sostituire k con 0,1,2,3.
una volta trovato per esempio per k=2 $alpha=17\pi/16$ come continuo?
"kiblast":
devo trovari il coseno di \alpha?... oppure posso lasciare la radice cosi indicata
$root(8)(2)(cos[17\pi/(16)]+ isin[(17\pi)/16])?
Assumendo che tu abbia semplicemente sbagliato a mettere le parentesi (!), da qui dipende anche dal tuo professore. Certo è che ricavarsi i valori di coseni e seni di quegli angoli non è un lavoro da poco...
Quindi con k=3 $ root(8)(2)(cos(25\pi/16)+isin25\pi/16)$
Certo penso che al massimo si calcolano gli angloli già noti, il resto si lascia scritto sopratutto per mancanza di tempo utile in un compito...
riassumendo: devo porre il sistema al sen e cos con la periodicità e nella formula di de moivre il modulo va sotto la radice ennesima. Giusto?
Certo penso che al massimo si calcolano gli angloli già noti, il resto si lascia scritto sopratutto per mancanza di tempo utile in un compito...
riassumendo: devo porre il sistema al sen e cos con la periodicità e nella formula di de moivre il modulo va sotto la radice ennesima. Giusto?
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