Radici n-esime primitive dell'unità

[nochipfritz]

Salve, qualcuno può dimostrarmi questo teorema?

Dato $\xi_n = e^{2\pi i/ n}.$

Se $\mu = \xi_n^k$ con $\gcd(k,n)=1$ è una radice n-esima primitiva dell'unità allora per ogni $m
Ringrazio anticipatamente a tutti coloro che mi daranno un aiuto!

[carlo232]

"nochipfritz":Salve, qualcuno può dimostrarmi questo teorema?

Dato $\xi_n = e^{2\pi i/ n}.$

Se $\mu = \xi_n^k$ con $\gcd(k,n)=1$ è una radice n-esima primitiva dell'unità allora per ogni $m
Ringrazio anticipatamente a tutti coloro che mi daranno un aiuto!

Ma... la radice ennesima dell'unità $r_n$ è proprio definita tale che $k in N^+$ e $r_n^k=1$ sse $k=n$.

[nochipfritz]

E' chiaro che una radice n-sima dell'unità elevata ad n fa 1. Ma io non ho chiesto questo. Cmq...grazie lo stesso.

[carlo232]

"nochipfritz":E' chiaro che una radice n-sima dell'unità elevata ad n fa 1. Ma io non ho chiesto questo. Cmq...grazie lo stesso.

sse=se e solo se

Se ti spieghi meglio posso provare ad aiutarti, esattamente cosa devi dimostrare?

[nochipfritz]

e allora, sappiamo che l'equazione $x^n = 1$ ammette $n$ soluzioni in $\mathbb{C}$ e queste sono $e^{2\pi i /n}, e^{2\pi i /n \cdot 2}, ...., e^{2\pi i /n \cdot n}.$ In generale definito $\xi_n = e^{2\pi i /n}$, l'insieme $G=\{\xi_n, \xi_n^2, ... \xi_n^n\}$ contiene tutte e sole le radici n-esime dell'unità.

Adesso introduco questa definizione:

DEF. $\mu \in G$ è una radice n-esima PRIMITIVA dell'unità se $\mu$ è della forma $\mu = \xi_n^k$ con $mcd(k,n)=1$.

Io devo dimostrare che:

SE $\mu$ è una radice n-esima primitiva dell'unità, ALLORA $\mu^m != 1$, per ogni $m
Non riesco a spiegarlo, meglio di così.

[carlo232]

"nochipfritz":Non riesco a spiegarlo, meglio di così.

Allora, abbiamo $e^(2pi i x)=cos(2pix)+i sin(2pix)$, quindi se $e^(2pi i x)=1$ allora $sin(2pix)=0$ e $cos(2pix)=1$ cioè $x in NN$. Ora se $gcd(n,k)=1,gcd(m,n)=1$ allora $(km)/n$ non è intero da cui segue la tesi.

[nochipfritz]

e perchè $gcd(m,n)=1$ ?

[carlo232]

"nochipfritz":e perchè $gcd(m,n)=1$ ?

Hai ragione, se $(km)/n$ è intero abbiamo che $n$ divide $km$, ora per la fattorizzazione unica degli interi nessun fattore di $n$ può dividere $k$ e necessariamente $n$ dividerà $m$ ma ciò non è possibile essendo $0

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[nochipfritz]

Io ho trovato una dimostrazione....ma non mi è chiara e rigorosa...se sei disponibile, posso mandarti per email la paginetta in questione e poi riparlarne.

[carlo232]

"nochipfritz":Io ho trovato una dimostrazione....ma non mi è chiara e rigorosa...se sei disponibile, posso mandarti per email la paginetta in questione e poi riparlarne.

Ma se vuoi fa pure... non vedo però cosa ci sia di errato nella mia dimostrazione.

[nochipfritz]

E allora...vediamo se ho capito bene....formalizziamo

Teorema : se $\mu$ è una radice n-esima primitiva dell'unità allora $\mu^m != 1 \forall m
Dimostrazione : supponiamo per assurdo che$\exists m: m allora $(\xi_n^k)^m = e^{2\pi i \frac{km}{n}} = 1$
ma ciò si verifica solo se $cos(2 \pi \frac{km}{n})=1$ e $sen(2 \pi \frac{km}{n})=0$cioè solo se $(km)/n \in \mathbb{N}.$ Ma
$(km)/n \in N$ solo se $n$ divide $km$, e poichè $(k,n)=1$, $n$ deve dividere $m$. Assurdo perchè $m

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