Radici n-esime di un numero complesso

[Sirio1988]

Salve a tutti,
volevo chiedervi una mano per comprendere un passo del mio libro di Analisi Matematica.

Siano $w in CC$, $w != 0$ e $n in NN$, diremo che $z in CC$ è una radice n-esima di w se $z^n=w$.

Per trovare le radici di w sfruttiamo la forma trigonometrica dei numeri complessi.

$z=rho(cos theta + i sin theta)$
$z^n=rho^n [cos (n theta) + i sin (n theta)]$
$w=r(cos phi + i sin phi)$

quindi:

$rho^n [cos (n theta) + i sin (n theta)]=r(cos phi + i sin phi)$

Da cui si ottiene

${(rho^n=r),(n theta=phi+2k pi):}$ con $ k in ZZ$

Possiamo allora scrivere

$z=root(n)r[cos ((phi+2k pi)/n) + i sin ((phi+2k pi)/n)]$, con $k in ZZ$

A questo punto sul testo trovo che k deve variare tra 0 ed n-1. Mi sapreste spiegare il perchè?

[gio73]

Può darsi che dovendo avere la radice ennesima di un numero complesso $n$ soluzioni esse si possano ottenere usando
$k=0$
$k=1$
$k=2$
.
.
.
$k=n-2$
$k=n-1$

in questo modo ho esattamente $n$ soluzioni. Cosa ne pensi?

[Camillo]

Se si procede con le altre soluzioni , quando usi $n $ ottieni ancora la soluzione trovata con $n=0 $ ; se usi $n+1 $ trovi ancora le soluzioni avute per $ n=1 $ etc

[Sirio1988]

Perfetto. Grazie ad entrambi