Radici equazione complessa
Ciao a tutti.
Premetto che non sono sicuro sia la sezione giusta, dato che non trovo una sezione dedicata ai numeri complessi.
Comunque, mi trovo la seguente equazione nell'incognita complessa z:
$ z^3 = (2+3*i)^3 $
Ora, bene o male so trovare le radici di un numero complesso in casi in cui ho z^n = qualcosa, tuttavia il mio prof ha deciso di inserire questo esercizio nel libro perchè rappresenta uno dei tanti casi particolari.
Detto questo, la soluzione proposta indica che:
- se si definisce w come una soluzione di $ z^n = A $ (con A diverso da 0) e chiamiamo i vari $u1,u2,...,u n-1$ le soluzioni di $ z^n = 1 $
- si nota come $2+3*i$ è in questo caso una soluzione w.
- presa l'usuale formula per calcolare le radici di un numero complesso z^n, per n=3, $\rho$ = 1, $\theta$ = 0 otteniamo le soluzioni di $Z^3 = 1$ che sono:
$u0 = 1$,$u1 = -1/2 + i*sqrt(3)/2$,$u2 = -1/2 - i*sqrt(3)/2$
Allora per quanto detto nei primi due punti, risulta:
$z0 = 2+ 3*i$
$z1 = (2+ 3*i)* u1$
$z2 = (2+ 3*i)* u2$.
Quello che vorrei sapere io è se è possibile risolverlo in un modo più simile al metodo usuale. Va detto subito che, risultando il modulo pari a $sqrt(13)$ la via trigonometrica o trigonometrico-esponenziale non è molto appetibile perchè non si riesce a trovare l'argomento. Se invece sviluppo $(2+3*i)^3$ mi risulta $-46+9*i$ che dà anche lui problemi.
Insomma, quello illustrato è l'unico modo?
Se si, come riconoscere quando devo applicarlo? Basta vedere che $z^n = A^n$ e il modulo di A è ingestibile?
Premetto che non sono sicuro sia la sezione giusta, dato che non trovo una sezione dedicata ai numeri complessi.
Comunque, mi trovo la seguente equazione nell'incognita complessa z:
$ z^3 = (2+3*i)^3 $
Ora, bene o male so trovare le radici di un numero complesso in casi in cui ho z^n = qualcosa, tuttavia il mio prof ha deciso di inserire questo esercizio nel libro perchè rappresenta uno dei tanti casi particolari.
Detto questo, la soluzione proposta indica che:
- se si definisce w come una soluzione di $ z^n = A $ (con A diverso da 0) e chiamiamo i vari $u1,u2,...,u n-1$ le soluzioni di $ z^n = 1 $
- si nota come $2+3*i$ è in questo caso una soluzione w.
- presa l'usuale formula per calcolare le radici di un numero complesso z^n, per n=3, $\rho$ = 1, $\theta$ = 0 otteniamo le soluzioni di $Z^3 = 1$ che sono:
$u0 = 1$,$u1 = -1/2 + i*sqrt(3)/2$,$u2 = -1/2 - i*sqrt(3)/2$
Allora per quanto detto nei primi due punti, risulta:
$z0 = 2+ 3*i$
$z1 = (2+ 3*i)* u1$
$z2 = (2+ 3*i)* u2$.
Quello che vorrei sapere io è se è possibile risolverlo in un modo più simile al metodo usuale. Va detto subito che, risultando il modulo pari a $sqrt(13)$ la via trigonometrica o trigonometrico-esponenziale non è molto appetibile perchè non si riesce a trovare l'argomento. Se invece sviluppo $(2+3*i)^3$ mi risulta $-46+9*i$ che dà anche lui problemi.
Insomma, quello illustrato è l'unico modo?
Se si, come riconoscere quando devo applicarlo? Basta vedere che $z^n = A^n$ e il modulo di A è ingestibile?
Risposte
"Ciome":
Quello che vorrei sapere io è se è possibile risolverlo in un modo più simile al metodo usuale.
Se con "metodo usuale" intendi trovare le tre radici terze, puoi anche portare il termine noto al primo membro e scomporre il tutto come differenza di cubi. Ottieni un'equazione di primo grado e una di secondo da risolvere con la usuale formula per le equazioni di secondo grado.
Ovviamente dovrebbe funzionare perché siamo in $\CC$; fossimo in $\RR$, $x^3=a$ ha un'unica soluzione e si vede che scomponendola come differenza di cubi resta la base e il falso quadrato che non ha soluzioni reali...
"Zero87":
[quote="Ciome"]Quello che vorrei sapere io è se è possibile risolverlo in un modo più simile al metodo usuale.
Se con "metodo usuale" intendi trovare le tre radici terze, puoi anche portare il termine noto al primo membro e scomporre il tutto come differenza di cubi. Ottieni un'equazione di primo grado e una di secondo da risolvere con la usuale formula per le equazioni di secondo grado.
Ovviamente dovrebbe funzionare perché siamo in $\CC$; fossimo in $\RR$, $x^3=a$ ha un'unica soluzione e si vede che scomponendola come differenza di cubi resta la base e il falso quadrato che non ha soluzioni reali...[/quote]
bella idea. ma nel caso di altri gradi? (per esempio $z^n = A^n$ con n =4 o 5)
Nel senso, vorrei trovare un modo di includere questo caso nel metodo generale, qualsiasi grado mi capiti davanti. Non avrò mai da risolvere z^6 nel mio corso, comunque.
Beh in generale quando è del tipo $ z^n=k $ con $k in C$ esiste il metodo "meccanico" e noto per calcolare le radici. E d'altronde sviluppando come hai detto te ricadi in questo caso.
Un altro modo sarebbe $(z-A)(z^2+A*z+A^2)=0$e ti riconduci a due equazioni abbastanza banali.
Nel caso generale con $n>3$ questo metodo non è applicabile, o per lo meno non conduce a nulla di utile
Un altro modo sarebbe $(z-A)(z^2+A*z+A^2)=0$e ti riconduci a due equazioni abbastanza banali.
Nel caso generale con $n>3$ questo metodo non è applicabile, o per lo meno non conduce a nulla di utile
Stavo pensando, magari potrei usare Ruffini più volte per le eq. di grado più alto?
Certo.
Ottimo, grazie.
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