Radici di un polinomio di terzo grado

[gagliardo.enrico2]

Ciao a tutti non riesco a trovare le radici di questo polinomio: $2x^3 +3x^2 - 12x-5$. Ho provato con il metodo di Ruffini ma non riesco a trovare il numero che annulla il polinomio. Avete qualche soluzione? Grazie per l'aiuto

[Berationalgetreal]

\[ 2 x^3 + 3x^2 -12x - 5 = 0 \]

Devi usare un metodo di calcolo numerico per trovare le soluzioni. Non esiste un modo "semplice" di trovarle analiticamente. Ciò che puoi/devi fare analiticamente è trovare gli intervalli in cui ne è contenuta soltanto una.

[Raptorista1]

Quali valori hai provato? Sai che c'è una regola che ti dice tutti e soli i valori possibili?

[gagliardo.enrico2]

Per trovare i valori ho diviso il termine noto per 2 e ho trovato i divisore che poi ho sostituito nel polinomio. Dovrebbero essere: $+-1 +-1/2 +-5/2 +-5$

[Raptorista1]

Bene, spero che la regola sia quella perché io chiaramente non la ricordo a memoria. Tutti quei \(\pm\) mi suonano giusti però.

Se nessuno di questi ti ha portato a niente, allora il polinomio non è scomponibile in questo modo, fine. Puoi usare le formule di Cardano per una soluzione esatta oppure usare un metodo numerico per avere un'approssimazione.

[gagliardo.enrico2]

In realtà l'esercizio chiede solo il numero di radici e non il valore preciso di dove si annulla il polinomio. Sapendo che è di terzo grado mi verrebbe da rispondere che le radici siano tre ma non è sempre vero. Quindi magari c'è un metodo più veloce per trovare il numero di radici al posto di trovare il valore numerico preciso

[Berationalgetreal]

In realtà sì, è sempre vero, in \(\mathbb{C} \). Ogni polinomio di grado \(n\) ammette \(n\) soluzioni complesse, contate con la loro molteplicità. E' il teorema fondamentale dell'algebra.
Ti si chiede esplicitamente di cercare soluzioni reali?

[gagliardo.enrico2]

Si purtroppo si mi chiede quelle reali

[Raptorista1]

Non è comunque un problema difficile: le radici complesse, se ci sono, sono coniugate, quindi il polinomio ne ha una oppure tre. Questo dovrebbe esserti di aiuto!

[gugo82]

"Gaglios":In realtà l'esercizio chiede solo il numero di radici e non il valore preciso di dove si annulla il polinomio. Sapendo che è di terzo grado mi verrebbe da rispondere che le radici siano tre ma non è sempre vero. Quindi magari c'è un metodo più veloce per trovare il numero di radici al posto di trovare il valore numerico preciso

Praticamente l'esercizio ti chiede di stabilire l'esistenza delle soluzioni dell'equazione \(2x^3+3x^2-12x-5=0\), non di calcolarle esplicitamente... Sono due problemi diversi (anche se collegati[nota]Collegati dall'enunciato noto come:

Teorema di Esistenza dell'Ingegnere:

Se risco a calcolare la soluzione di un'equazione \(f(x)=0\), allora tale soluzione esiste.

[/nota]).
Mentre per il calcolo esplicito delle soluzioni serve conoscere delle formule "complicate" (in particolare, le formule di Cardano che consentono di risolvere le equazioni di terzo grado), l'esistenza delle soluzioni si può stabilire facilmente con i teoremi del Calcolo Differenziale.

Considera la funzione \(f(x)=2x^3+3x^2-12x-5\). Essa è definita, continua e derivabile quante volte si vuole in tutto $\RR$. Dato che:
\[
\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty >0\; ,
\]
la $f$ è strettamente positiva per $x$ "sufficientemente grande"... Ad esempio, un calcolo veloce ti mostra che $f(2)=11>0$. D'altra parte, si ha:
\[
f(1)=-12<0\; ,
\]
dunque il Teorema degli Zeri ti assicura che esiste almeno un numero $1 Ora, si tratta di stabilire se $c$ è l'unica soluzione dell'equazione o se ce ne sono altre due.
Per fare ciò, osserva che:
\[
f^\prime (x) = 6x^2 + 6x -12 = 6(x^2+x-2)=6(x-1)(x+2)
\]
cosicché \(f^\prime (x)>0\) in $]-\infty , -2[ \cup ]1,+\infty[$, \(f^\prime (x)<0\) in $]-2,1[$ ed $f^\prime (x) =0 $ per $x=-2,1$; conseguentemente, la $f$ è strettamente crescente in $]-\infty, -2]$ ed in $[1,+\infty[$, strettamente decrescente in $[-2,1]$ ed ha punti di massimo e di minimo relativi, rispettivamente, in $-2$ ed in $1$.
La stretta monotonia di $f$ in $[1,+\infty[$ ti assicura che $c$ è l'unica soluzione dell'equazione $f(x)=0$ nell'intervallo $[1,+\infty[$... Vediamo cosa accade altrove.
Visto che:
\[
f(-2)= 8 >0 \qquad \text{e} \qquad f(1)=-12<0
\]
il Teorema degli Zeri e la stretta monotonia di $f$ in $[-2,1]$ ti garantiscono che esiste un unico $-2 Ciò, unito al fatto che un polinomio reale non può avere un numero dispari di radici complesse, implica che esiste anche un unico $a<-2$ tale che $f(a)=0$.

Pertanto l'equazione \(2x^3+3x^2-12x-5=0\) ha tre soluzioni reali $a,b,c$ tali che $a<-2

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[gagliardo.enrico2]

"gugo82":[quote="Gaglios"]In realtà l'esercizio chiede solo il numero di radici e non il valore preciso di dove si annulla il polinomio. Sapendo che è di terzo grado mi verrebbe da rispondere che le radici siano tre ma non è sempre vero. Quindi magari c'è un metodo più veloce per trovare il numero di radici al posto di trovare il valore numerico preciso

Praticamente l'esercizio ti chiede di stabilire l'esistenza delle soluzioni dell'equazione \(2x^3+3x^2-12x-5=0\), non di calcolarle esplicitamente... Sono due problemi diversi (anche se collegati[nota]Collegati dall'enunciato noto come:

Teorema di Esistenza dell'Ingegnere:

Se risco a calcolare la soluzione di un'equazione \(f(x)=0\), allora tale soluzione esiste.

[/nota]).
Mentre per il calcolo esplicito delle soluzioni serve conoscere delle formule "complicate" (in particolare, le formule di Cardano che consentono di risolvere le equazioni di terzo grado), l'esistenza delle soluzioni si può stabilire facilmente con i teoremi del Calcolo Differenziale.

Considera la funzione \(f(x)=2x^3+3x^2-12x-5\). Essa è definita, continua e derivabile quante volte si vuole in tutto $\RR$. Dato che:
\[
\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty >0\; ,
\]
la $f$ è strettamente positiva per $x$ "sufficientemente grande"... Ad esempio, un calcolo veloce ti mostra che $f(2)=11>0$. D'altra parte, si ha:
\[
f(1)=-12<0\; ,
\]
dunque il Teorema degli Zeri ti assicura che esiste almeno un numero $1 Ora, si tratta di stabilire se $c$ è l'unica soluzione dell'equazione o se ce ne sono altre due.
Per fare ciò, osserva che:
\[
f^\prime (x) = 6x^2 + 6x -12 = 6(x^2+x-2)=6(x-1)(x+2)
\]
cosicché \(f^\prime (x)>0\) in $]-\infty , -2[ \cup ]1,+\infty[$, \(f^\prime (x)<0\) in $]-2,1[$ ed $f^\prime (x) =0 $ per $x=-2,1$; conseguentemente, la $f$ è strettamente crescente in $]-\infty, -2]$ ed in $[1,+\infty[$, strettamente decrescente in $[-2,1]$ ed ha punti di massimo e di minimo relativi, rispettivamente, in $-2$ ed in $1$.
La stretta monotonia di $f$ in $[1,+\infty[$ ti assicura che $c$ è l'unica soluzione dell'equazione $f(x)=0$ nell'intervallo $[1,+\infty[$... Vediamo cosa accade altrove.
Visto che:
\[
f(-2)= 8 >0 \qquad \text{e} \qquad f(1)=-12<0
\]
il Teorema degli Zeri e la stretta monotonia di $f$ in $[-2,1]$ ti garantiscono che esiste un unico $-2 Ciò, unito al fatto che un polinomio reale non può avere un numero dispari di radici complesse, implica che esiste anche un unico $a<-2$ tale che $f(a)=0$.

Pertanto l'equazione \(2x^3+3x^2-12x-5=0\) ha tre soluzioni reali $a,b,c$ tali che $a<-2

[/quote]

Ok capito grazie mille per la pazienza e tutte le risposte, gentilissimi!

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