Radici di un polinomio
Dimostrare che le eventuali radici $\alpha$ di $x^4+x^2-x-10$ verificano la proprietà che, in modulo, sono minori o uguali a 10.
Bisognerebbe usare ruffini.
Ho pensato di ragionare così: per assurdo ammettiamo che esista |h|>10 tale che
$h^4+h^2-h-10=0$. La quantità $h^4+h^2$ è allora sicuramente maggiore di 10000+100=10100. La quantità (-h-10) è invece o minore di -20 o maggiore di 0. Con ragionamenti di questo tipo è possibile arrivare a un assurdo?
Bisognerebbe usare ruffini.
Ho pensato di ragionare così: per assurdo ammettiamo che esista |h|>10 tale che
$h^4+h^2-h-10=0$. La quantità $h^4+h^2$ è allora sicuramente maggiore di 10000+100=10100. La quantità (-h-10) è invece o minore di -20 o maggiore di 0. Con ragionamenti di questo tipo è possibile arrivare a un assurdo?
Risposte
secondo me hai già finito
\(\forall h:|h|>10\) si ha che \(h^2>|-h-10|\) per cui \(h^2-h-10>0\)
\(h^4>10000\) e quindi sicuramente \(h^4+h^2-h-10>0\)
con lo stesso argomento puoi restringere a molto meno di \(10\) l'ampiezza dell'intorno in cui possono cadere le eventuali radici.
\(\forall h:|h|>10\) si ha che \(h^2>|-h-10|\) per cui \(h^2-h-10>0\)
\(h^4>10000\) e quindi sicuramente \(h^4+h^2-h-10>0\)
con lo stesso argomento puoi restringere a molto meno di \(10\) l'ampiezza dell'intorno in cui possono cadere le eventuali radici.
nn mi torna. Chi me lo dice che $h^2>|-h-10|$?
Andrebbe dimostrato. A parte che l'asserto mi sembra assolutamente falso: prendiamo h=1 per esempio.
Andrebbe dimostrato. A parte che l'asserto mi sembra assolutamente falso: prendiamo h=1 per esempio.
ho scritto \(\forall h:|h|>10\)...
Eh si ma come si dimostra? Ovviamente senza far uso di derivate ecc..
uppem
Nell'uppare, ripropongo in breve la questione.
Come posso dimostrare che tutte le radici di questo polinomio (se esistono) devono essere per forza minori o uguali a 10?
$p(h)=h^4+h^2-h-10$
Stavo provando per assurdo. Ponendo h maggiore di 10 si avrebbe
$h^4+h^2>10100$ (*)
e
$-h-10<-20$ (**)
Questo metodo si riduce in un nulladi fatto, perchè la (**) non esclude che $h^4+h^2$ e $(-h-10)$ possano annullarsi a vicenda...
Come posso dimostrare che tutte le radici di questo polinomio (se esistono) devono essere per forza minori o uguali a 10?
$p(h)=h^4+h^2-h-10$
Stavo provando per assurdo. Ponendo h maggiore di 10 si avrebbe
$h^4+h^2>10100$ (*)
e
$-h-10<-20$ (**)
Questo metodo si riduce in un nulladi fatto, perchè la (**) non esclude che $h^4+h^2$ e $(-h-10)$ possano annullarsi a vicenda...
Se $h>10$ hai che $h^2>h$ e $h^4>10$, dunque $p(h)= h^4+h^2-h-10>0$
Se $h< -10$ hai $h^2-h>0$ (perchè $-h$ è positivo) e $h^4-10>0$. Quindi $p(h)>0$
Riassumendo, se $|h|>10$ sicuramente $p(h)>0$, dunque $h$ non è radice per $p$
Se $h< -10$ hai $h^2-h>0$ (perchè $-h$ è positivo) e $h^4-10>0$. Quindi $p(h)>0$
Riassumendo, se $|h|>10$ sicuramente $p(h)>0$, dunque $h$ non è radice per $p$
Grazie!
In realtà puoi fare una restrizione ancora maggiore (facendo gli stessi passaggi che ho fatto io):
se $|h|> root4 (10) \sim 1.77827941$ allora $p(h)>0$
Quindi eventuali radici sono da ricercare nell'intervallo $(-root4 (10), root4 (10))$. E puoi dire che almeno due radici ci sono dato che $p(0)= -10 <0$
se $|h|> root4 (10) \sim 1.77827941$ allora $p(h)>0$
Quindi eventuali radici sono da ricercare nell'intervallo $(-root4 (10), root4 (10))$. E puoi dire che almeno due radici ci sono dato che $p(0)= -10 <0$
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