Radici di un polinomio
Buongiorno,
non so' se la sezione sia quella più adatta, ma qualora fosse errata ditemelo e la cambio!
Vi posto la seguente proposizone che è riportata sul mio libro di teoria, dove recita:
Se $P$ un polinomio e $z_0 \in \mathbb{C}$ è una radice di $P$, allora il numero complesso coniugato $bar z_0$ di $z_0$ è una radice del polinomio di $bar P$.
Dim.
Siano $a_0,...,a_n \in mathbb{C}$ dove $a_n ne 0$ e $P(z)=a_0+...+a_nz_n$, allora $barP(bar z_0)=bar a_0+...+bara_nbarz_n=bar(a_0+...+a_nz_n)=bar(P(z_0))$ quindi risulta $barP(bar z_0)=0$ se e solo se $P(z_0)=0$
La precedente proposizone mi è quasi chiara, se i coefficienti di tale polinomio sono in $mathbb{R}$,ma in $mathbb{C}$ non mi torna.
Spero nella lucidazione da parte vostra di questo mio problema.
Cordiali Saluti.
non so' se la sezione sia quella più adatta, ma qualora fosse errata ditemelo e la cambio!
Vi posto la seguente proposizone che è riportata sul mio libro di teoria, dove recita:
Se $P$ un polinomio e $z_0 \in \mathbb{C}$ è una radice di $P$, allora il numero complesso coniugato $bar z_0$ di $z_0$ è una radice del polinomio di $bar P$.
Dim.
Siano $a_0,...,a_n \in mathbb{C}$ dove $a_n ne 0$ e $P(z)=a_0+...+a_nz_n$, allora $barP(bar z_0)=bar a_0+...+bara_nbarz_n=bar(a_0+...+a_nz_n)=bar(P(z_0))$ quindi risulta $barP(bar z_0)=0$ se e solo se $P(z_0)=0$
La precedente proposizone mi è quasi chiara, se i coefficienti di tale polinomio sono in $mathbb{R}$,ma in $mathbb{C}$ non mi torna.
Spero nella lucidazione da parte vostra di questo mio problema.
Cordiali Saluti.
Risposte
Se $P$ è a coefficienti reali, le sue radici complesse si presentano a coppie, perché (come conseguenza di quel che enunci) $P(z)=0 \iff P(\bar z)=0$. Se i coefficienti di $P$ sono complessi, come dici, $\bar P(\bar z)=0\iff P(z)=0$. Che problema c'è in questo?
Forse non ha chiaro come sia fatto $\overline P$. Se \[P(\bullet)=a_0+\sum_{j=1}^n a_j \bullet^j \ ,\] allora \[\overline P(\bullet)=\overline a_0+\sum_{j=1}^n \overline a_j \bullet^j \ .\]
Perché $a_0$ è messo a parte? E perché l'indeterminata è un pallino?
Killing_buddha
la prima parte è chiara, la seconda no, cioè :
prendo quello che tu dici
$P(z)=0 leftrightarrow barP(barz)=0$ quindi equivale per $a_0+...+a_nz_n=0 leftrightarrow bara_0+...+bara_nbarz_n=0$
Ora con $h=0,..,n$
\(\displaystyle \bar a_h=\begin{cases} a_h, & \mbox{se }a_h\in\mathbb{R} \\ \bar a_h, & \mbox{se }a_h\in\mathbb{C}\end{cases} \).
Quindi da questo (se fosse correto) deduco:
$a_n \in \mathbb{R} to barP(barz)=bara_0+...+bara_nbarz_n=a_0+...+a_nbarz_n=0 .$
$a_n \in \mathbb{C} to barP(barz)=bara_0+...+bara_nbarz_n=0 .$
dove sbaglio?
la prima parte è chiara, la seconda no, cioè :
prendo quello che tu dici
$P(z)=0 leftrightarrow barP(barz)=0$ quindi equivale per $a_0+...+a_nz_n=0 leftrightarrow bara_0+...+bara_nbarz_n=0$
Ora con $h=0,..,n$
\(\displaystyle \bar a_h=\begin{cases} a_h, & \mbox{se }a_h\in\mathbb{R} \\ \bar a_h, & \mbox{se }a_h\in\mathbb{C}\end{cases} \).
Quindi da questo (se fosse correto) deduco:
$a_n \in \mathbb{R} to barP(barz)=bara_0+...+bara_nbarz_n=a_0+...+a_nbarz_n=0 .$
$a_n \in \mathbb{C} to barP(barz)=bara_0+...+bara_nbarz_n=0 .$
dove sbaglio?
"galles90":
dove sbaglio?
Sbagli a non capire cosa vuoi dire. Cosa vuoi dire, quindi?
"killing_buddha":
[quote="galles90"]dove sbaglio?
Sbagli a non capire cosa vuoi dire. Cosa vuoi dire, quindi?[/quote]
prendo le ipotesi dette nella proposizione da me postata, segue:
siano $z_0 \in \mathbb{C}:P(z_0)=0$, $a_0,...,a_n \in \mathbb{C}$
$ to barP(barz_0)=bara_0+...+bar(a_nz_n)=bar(P(z_0))$
$bar(P(z_0))=bar0=0=P(z_0).$
$to$ $P(z_0)=0 leftrightarrow bar(P(z_0))=0$
è sbagliato ?
No, chiaramente è giusto. E allora?
E' corretto 
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