Radici di un complesso

[AnalisiZero]

Ciao,

Nel libro leggo:
Dato $m in ZZ$, $m > 1$, ed un numero complesso $z$, si chiama radice $m$-esima di $z$ ogni numero complesso $w$ tale che sia $w^m = z$.

La domanda è semplice:

Perchè $m>1$? è solo una definizione e devo prenderla così com'è oppure c'è un motivo? Se io ad esempio mi invento:

$w^(-2)=3+4i$ Riesco ad arrivare a un sistema che mi permette di determinare il numero $w$, facendo lo stesso ragionamento per ogni $m in ZZ$.

Grazie.

[pilloeffe]

Ciao AnalisiZero,

Cominciamo dalla fine:

"AnalisiZero":facendo lo stesso ragionamento per ogni $ m \in \ZZ $

Beh, direi di no perché per $m = 0 $ la

"AnalisiZero":radice $m $-esima

sarebbe un pò un problema:

$ w = z^{1/m} $

Per quanto riguarda gli interi negativi, probabilmente non li ha considerati perché comunque ci si può ricondurre ai positivi con la semplice posizione $u := 1/w = w^{-1} $. D'altronde, con l'esempio che ti sei inventato si ha:

$ w^(-2)=3+4i \implies w^2 = frac{1}{3 + 4i} \implies w = (frac{1}{3 + 4i})^{1/2} = sqrt{frac{1}{3 + 4i}} = sqrt{frac{3 - 4i}{(3 + 4i)(3 - 4i)}} = 1/5 sqrt{3 - 4i} $

[AnalisiZero]

Capito, grazie.

[anto_zoolander]

considera che in generale in un gruppo moltiplicativo $(G,*)$ si definisce potenza di $g$ ad esponente intero $m$ come

$g^m:={(underbrace(g*g*...*g)_(m) if m>0),(underbrace(g^(-1)*g^(-1)*...*g^(-1))_(m) if m<0),(e if m=0):}$

[AnalisiZero]

Chiaro, grazie