Radici di numeri complessi.
ciao a tutti! sono nuovo sul forum.
Sono uno studente universitario al primo anno e mi sto cimentando in analisi 1.
Spero che possiate chiarirmi qualche dubbio in merito a questo quiz.
Sia data l'equazione $x^49+4x-10=0$. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
a) l'equazione ammette una sola radice reale.
(vera, basta fare la derivata e verificare che è sempre positiva)
b)l'equazione ammette 49 radici complesse.
(vera dato che il polinomio è di grado 49)
c) tra le 49 radici complesse, 48 sono a due a due complesse coniugate.
(vera dato che se è presente una complessa è anche presente la sua complessa coniugata, a eccezione
della radice reale dato che presenta la parte immaginaria uguale a zero)
d)la radice reale è positiva.
(vera, sostituendo $ x=0 $ all'eq associata si ricava $ y=-10$ di conseguenza la soluzione, considerando anche la
derivata sempre positiva, è positiva.
e) le radici dell'equazione sono i vertici di un poligono di 49 lati inscritti in una circonferenza.
(quest'utlima mi pare giusta ugualmente. d'altronde le soluzioni hanno tutte il medesimo modulo e di
conseguenza la medesima distanza dal centro. Il che le rende vertici di un poligono iscritto nella
circonferenza avente raggio pari al modulo delle radici.)
la soluzione del quiz è la e.
Grazie in anticipo per l'aiuto
Sono uno studente universitario al primo anno e mi sto cimentando in analisi 1.
Spero che possiate chiarirmi qualche dubbio in merito a questo quiz.
Sia data l'equazione $x^49+4x-10=0$. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
a) l'equazione ammette una sola radice reale.
(vera, basta fare la derivata e verificare che è sempre positiva)
b)l'equazione ammette 49 radici complesse.
(vera dato che il polinomio è di grado 49)
c) tra le 49 radici complesse, 48 sono a due a due complesse coniugate.
(vera dato che se è presente una complessa è anche presente la sua complessa coniugata, a eccezione
della radice reale dato che presenta la parte immaginaria uguale a zero)
d)la radice reale è positiva.
(vera, sostituendo $ x=0 $ all'eq associata si ricava $ y=-10$ di conseguenza la soluzione, considerando anche la
derivata sempre positiva, è positiva.
e) le radici dell'equazione sono i vertici di un poligono di 49 lati inscritti in una circonferenza.
(quest'utlima mi pare giusta ugualmente. d'altronde le soluzioni hanno tutte il medesimo modulo e di
conseguenza la medesima distanza dal centro. Il che le rende vertici di un poligono iscritto nella
circonferenza avente raggio pari al modulo delle radici.)
la soluzione del quiz è la e.
Grazie in anticipo per l'aiuto
Risposte
"yonko":
ciao a tutti! sono nuovo sul forum.
Benvenuto al forum e buona permanenza.
Sia data l'equazione $x^49+4x-10=0$. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
Vediamo
a) l'equazione ammette una sola radice reale.
(vera, basta fare la derivata e verificare che è sempre positiva)
Risposta incompleta, ma comunque ok.
b)l'equazione ammette 49 radici complesse.
(vera dato che il polinomio è di grado 49)
Bene.
c) tra le 49 radici complesse, 48 sono a due a due complesse coniugate.
(vera dato che se è presente una complessa è anche presente la sua complessa coniugata, a eccezione
della radice reale dato che presenta la parte immaginaria uguale a zero)
Ricordo un teorema o un risultato simile.
d)la radice reale è positiva.
(vera, sostituendo $ x=0 $ all'eq associata si ricava $ y=-10$ di conseguenza la soluzione, considerando anche la
derivata sempre positiva, è positiva.
A biliardo si direbbe "calma e gesso". Non confondiamo la radice con l'intersezione della funzione con l'asse $y$. La radice è l'intersezione della funzione associata con l'asse $x$.
e) le radici dell'equazione sono i vertici di un poligono di 49 lati inscritti in una circonferenza.
(quest'utlima mi pare giusta ugualmente. d'altronde le soluzioni hanno tutte il medesimo modulo e di
conseguenza la medesima distanza dal centro. Il che le rende vertici di un poligono iscritto nella
circonferenza avente raggio pari al modulo delle radici.)
Questa vale per le 49 radici complesse di una potenza 49-esima, qui stiamo parlando di un polinomio di grado 49.
Comunque anche per me è la "e" ma è una casualità che ti viene vera la "d" perché è sì vera ma non è quello il ragionamento.
EDIT: avevo fatto casino con i quote...
Risposta incompleta, ma comunque ok.
Hai ragione, avrei dovuto scrivere anche che è una funzione continua e sempre crescente quindi passa per l'asse delle x una sola volta.
A biliardo si direbbe "calma e gesso". Non confondiamo la radice con l'intersezione della funzione con l'asse $ y $. La radice è l'intersezione della funzione associata con l'asse $ x $.
Ancora una volta mi sono espresso male. se consideriamo che si ha una radice quando la $y$ assume il valore $0$ allora essendo la funzione sempre crescente sostituendo alla $x$ il valore zero e osservando che la $y$ ancora è negativa significa che la radice (ovvero il valore della $x$ quando la $y$ assume il valore zero) è positiva.
Questa vale per le 49 radici complesse di una potenza 49-esima, qui stiamo parlando di un polinomio di grado 49.
Sai darmi qualche informazione in più in merito? Perché non è valido per polinomi?
Comunque anche per me è la "e" ma è una casualità che ti viene vera la "d" perché è sì vera ma non è quello il ragionamento.
E' corretto il ragionamento che ho scritto sopra? Se no, sai dirmi come avrei potuto fare?
PS: mi sono scordato di specificare che sono uno studente di ingegneria, le dimostrazioni dei teoremi dei numeri complessi non sono richieste.
"yonko":
[quote="Il sottoscritto, un post fa"]Risposta incompleta, ma comunque ok.
Hai ragione, avrei dovuto scrivere anche che è una funzione continua e sempre crescente quindi passa per l'asse delle x una sola volta.[/quote]
Meglio, ma per essere corretti manca ancora qualcosa.
Anche $e^x$ è sempre crescente e continua ma non passa per l'asse $x$. Sì lo so, sono puntiglioso ora!
Ancora una volta mi sono espresso male. se consideriamo che si ha una radice quando la $y$ assume il valore $0$ allora essendo la funzione sempre crescente sostituendo alla $x$ il valore zero e osservando che la $y$ ancora è negativa significa che la radice (ovvero il valore della $x$ quando la $y$ assume il valore zero) è positiva.
[quote] Questa vale per le 49 radici complesse di una potenza 49-esima, qui stiamo parlando di un polinomio di grado 49.
Sai darmi qualche informazione in più in merito? Perché non è valido per polinomi?[/quote]
Perché nel polinomio interviene anche un termine che modifica la natura delle soluzioni (si aggiunge la $x$) mentre la potenza secca è del tipo $x^n+b=0$ che ha $n$ soluzioni complesse che rappresentano i vertici di una figura geometrica regolare di $n$ lati.
E' corretto il ragionamento che ho scritto sopra? Se no, sai dirmi come avrei potuto fare?
Ora ok!
PS: mi sono scordato di specificare che sono uno studente di ingegneria, le dimostrazioni dei teoremi dei numeri complessi non sono richieste.
Però mi sembra strano perché sennò come facevi a giustificare la risposta e?
Il fatto che le $n$ radici $n-$esime di un numero complesso sono gli $n$ vertici di una figura geometrica regolare è un risultato noto e dimostrabile che ora... non mi ricordo più.
Meglio, ma per essere corretti manca ancora qualcosa.
Anche ex è sempre crescente e continua ma non passa per l'asse x. Sì lo so, sono puntiglioso ora!
E' anche suriettiva, e ora dovrebbe bastare
Perché nel polinomio interviene anche un termine che modifica la natura delle soluzioni (si aggiunge la x) mentre la potenza secca è del tipo xn+b=0 che ha n soluzioni complesse che rappresentano i vertici di una figura geometrica regolare di n lati.
Grazie
Il fatto che le n radici n−esime di un numero complesso sono gli n vertici di una figura geometrica regolare è un risultato noto e dimostrabile che ora... non mi ricordo più.
Le dimostrazioni non sono richieste, tuttavia sono state presentate e quindi dobbiamo saperle utilizzare.. Sicuramente si può osservare dal fatto che la formula dei numeri complessi per le radici è la seguente $z= r(cos(a)+sin(a))$ $z^(1/n)= r^(1/n)(cos((a+2k pi)/n)+sin((a)2k pi)/n)$ dove cambiano solo gli angoli ($k= {0,..,n-1}$. Tanto basta per risolvere il quiz... anche se la dimostrazione vera e propria non la ricordo.
comunque mi riferivo a quanto avevi scritto qua che avevo interpretato come un incitamento a presentare il teorema:
Ricordo un teorema o un risultato simile.
comunque grazie mille di tutto! Molto disponibile!
"yonko":
[quote="Sempre io"]Meglio, ma per essere corretti manca ancora qualcosa.
Anche ex è sempre crescente e continua ma non passa per l'asse x. Sì lo so, sono puntiglioso ora!
E' anche suriettiva, e ora dovrebbe bastare
[/quote]Anche troppo, a dire il vero!
Basterebbe richiedere che se è continua e sempre crescente (in un intervallo, non necessariamente in $\RR$), basterebbe che ci sia un punto dove è negativa e un punto dov'è positiva per dire che esiste almeno un punto intermedio dove assume valore nullo.
Ora sono taaanto puntiglioso.
comunque mi riferivo a quanto avevi scritto qua che avevo interpretato come un incitamento a presentare il teorema:
[quote]Ricordo un teorema o un risultato simile.
comunque grazie mille di tutto! Molto disponibile![/quote]
Visto? Ricordavo un teorema o un risultato simile.
Di niente, comunque! Anzi, se riesco ancora a ricordare un po' di matematica universitaria non sono altro che felice!
EDIT: devo bacchettare me stesso qui
"Io":
[quote="yonko"]Ancora una volta mi sono espresso male. se consideriamo che si ha una radice quando la $y$ assume il valore $0$ allora essendo la funzione sempre crescente sostituendo alla $x$ il valore zero e osservando che la $y$ ancora è negativa significa che la radice (ovvero il valore della $x$ quando la $y$ assume il valore zero) è positiva.
[/quote]In realtà non è corretto, anche qui manca qualcosa, poiché anche $-e^(-x)$ soddisfa quei requisiti ma non si annulla mai.
Manca dire che se esiste un punto dove la funzione è negativa (fai l'esempio ponendo $x=0$), deve esisterne uno per cui la funzione assume valore positivo e quindi deduci l'esistenza dello zero intermedio a prescindere dalla derivata.
EDIT (e 2!)
Ho corretto una svista segnalatomi da yonko.
In realtà non è corretto, anche qui manca qualcosa, poiché anche −ex soddisfa quei requisiti ma non si annulla mai.
Manca dire che se esiste un punto dove la funzione è negativa (fai l'esempio ponendo x=0), deve esisterne uno per cui la funzione assume valore positivo e quindi deduci l'esistenza dello zero intermedio a prescindere dalla derivata.
devo bacchettare me stesso qui
in realtà -e^x è sempre decrescente quindi non soddisfa i requisiti. (-e^-x è perfetta)
Doppia bacchettata
eheheh
Comunque solamente affermando che è crescente effettivamente non è corretto però potrei cavarmela dicendo che avevamo già stabilito al passaggio precedente che era sempre crescente e suriettiva:
Hai ragione, avrei dovuto scrivere anche che è una funzione continua e sempre crescente quindi passa per l'asse delle x una sola volta
E' anche suriettiva, e ora dovrebbe bastare
Se inizi a correggermi... vuol dire che hai capito!
La suriettività, comunque, resta una condizione sovrabbondante; basta che, come detto, siano soddisfatte le ipotesi del teorema dell'esistenza degli zeri.
La suriettività, comunque, resta una condizione sovrabbondante; basta che, come detto, siano soddisfatte le ipotesi del teorema dell'esistenza degli zeri.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo