Radici di complessi

[Lammah]

Sono alle prese con le radici dei complessi... a livello teorico ci dovrei essere ma all'atto pratico... picche!

ad esempio come calcolereste $sqrt(-2i)$ ?
e + in generale?

[_nicola de rosa]

"Lammah":Sono alle prese con le radici dei complessi... a livello teorico ci dovrei essere ma all'atto pratico... picche!

ad esempio come calcolereste $sqrt(-2i)$ ?
e + in generale?

la formula di de moivre
$root(n)(z)=|z|^(1/n)*e^(i*(arg(z)+2kpi)*1/n),k=0,1,2...n-1$
nel tuo caso $n=2,|z|=|-2i|=2,arg(z)=-pi/2$ per cui
le radici sono $z_(1,2)=sqrt2*e^(i*1/2(-pi/2+2kpi)),k=0,1$ cioè
$z_(k=0)=sqrt2*e^(-i*pi/4)=sqrt2*(sqrt2)/2(1-i)=1-i$
$z_(k=1)=sqrt2*e^(i*3/4*pi)=sqrt2*(sqrt2)/2*(-1+i)=(-1+i)$

[Lammah]

sempre velocissimo e preciso... come il superattack

vediamo se ho capito...

l'angolo l'hai trovato facendo $arctg -2/0$ che andando a $-oo$ è $-pi/2$... il modulo è la lunghezza di Z se prendiamo la parte reale su x e quella immaginaria su y...
poi applico la formula con k

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[_nicola de rosa]

"Lammah":sempre velocissimo e preciso... come il superattack

vediamo se ho capito...

l'angolo l'hai trovato facendo $arctg -2/0$ che andando a $-oo$ è $-pi/2$... il modulo è la lunghezza di Z se prendiamo la parte reale su x e quella immaginaria su y...
poi applico la formula con k
sì $z=a+i*b->|z|=sqrt(a^2+b^2),arg(z)={(arctg(b/a),,a>0,,b>0),(2pi-arctg(|b|/a)=-arctg(|b|/a),,a>0,,b<0),(pi-arctg(b/|a|),,a<0,,b>0),(pi+arctg(|b/a|),,a<0,,b<0):}$
ovviamente le radici si ripeteranno con periodicità, nel senso che saranno distinte per $k=0,1,2...n-1$ ma per $k>=n$ si ripetono identicamente.

[Lammah]

"nicola de rosa":
$z_(k=0)=sqrt2*e^(-i*pi/4)=sqrt2*(sqrt2)/2(1-i)=1-i$
$z_(k=1)=sqrt2*e^(i*3/4*pi)=sqrt2*(sqrt2)/2*(-1+i)=(-1+i)$

grazie per lo schema di prima...
ormai chiariamo pure questo... come passi dalla forma esponenziale alla forma estesa? anche su questo ho vari dubbi... meglio toglierseli subito o rischio di portarmi dietro uno di quei fastidiosi errori concettuali...

[_nicola de rosa]

"Lammah":[quote="nicola de rosa"]
$z_(k=0)=sqrt2*e^(-i*pi/4)=sqrt2*(sqrt2)/2(1-i)=1-i$
$z_(k=1)=sqrt2*e^(i*3/4*pi)=sqrt2*(sqrt2)/2*(-1+i)=(-1+i)$

grazie per lo schema di prima...
ormai chiariamo pure questo... come passi dalla forma esponenziale alla forma estesa? anche su questo ho vari dubbi... meglio toglierseli subito o rischio di portarmi dietro uno di quei fastidiosi errori concettuali...[/quote]
semplice $e^(i*phi)=cos(phi)+i*sin(phi)$ è la formula di eulero

[Lammah]

"nicola de rosa":[quote="Lammah"][quote="nicola de rosa"]
$z_(k=0)=sqrt2*e^(-i*pi/4)=sqrt2*(sqrt2)/2(1-i)=1-i$
$z_(k=1)=sqrt2*e^(i*3/4*pi)=sqrt2*(sqrt2)/2*(-1+i)=(-1+i)$

grazie per lo schema di prima...
ormai chiariamo pure questo... come passi dalla forma esponenziale alla forma estesa? anche su questo ho vari dubbi... meglio toglierseli subito o rischio di portarmi dietro uno di quei fastidiosi errori concettuali...[/quote]
semplice $e^(i*phi)=cos(phi)+i*sin(phi)$ è la formula di eulero[/quote]

ok perfetto..