Radici dei numeri complessi
mi potetete aiutare a trovare le radici di questo numero complesso? [(1-3i)/(3+i)]^20
Risposte
Ciao, quando hai una frazione con numeri complessi al numeratore e al denominatore è sempre conveniente cercare di togliere il numero complesso dal denominatore, un metodo semplice è quello di moltiplicare numeratore e denominatore per il coniugato del nuemero complesso che sta al denominatore:
\[\left ( \frac{1-3i}{3+i}\cdot \frac{3-i}{3-i}\right )^{20}= \left ( \frac{3-9i-i+3i^2}{9-3i+3i-i^2} \right )^{20}=(-i)^{20}=1\]
Ps, non si tratta di radici di numeri complessi ma di potenze
\[\left ( \frac{1-3i}{3+i}\cdot \frac{3-i}{3-i}\right )^{20}= \left ( \frac{3-9i-i+3i^2}{9-3i+3i-i^2} \right )^{20}=(-i)^{20}=1\]
Ps, non si tratta di radici di numeri complessi ma di potenze
perchè poi nell'ultimo passaggio diventa i^20???
ho semplicemente sommato i termini che sono al numeratore e al denominatore, ricorda la proprietà fondamentale dell'unità immaginaria!! i^2=-1!
Ottieni dunque l'espressione
\[\left ( \frac {-10i}{10} \right )^{20}=\left ( -i \right )^{20}=\left ( (-i)^2 \right )^{10}=\left ((-1)^2 (i)^2 \right )^{10}=(-1)^{10}=1\]
Inoltre ricorda che il termine -10i non è nient'altro che un numero moltiplicato con una costante, è quindi lecito semplificare il 10 al numeratore e denominatore
Ottieni dunque l'espressione
\[\left ( \frac {-10i}{10} \right )^{20}=\left ( -i \right )^{20}=\left ( (-i)^2 \right )^{10}=\left ((-1)^2 (i)^2 \right )^{10}=(-1)^{10}=1\]
Inoltre ricorda che il termine -10i non è nient'altro che un numero moltiplicato con una costante, è quindi lecito semplificare il 10 al numeratore e denominatore
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