Radici cubiche di un numero complesso

[rodrigoruiz1]

Ecco il testo:

(z-i)^3=2e^(i(2/3)pi)

avevo pensato appunto di togliere l'esponente come prima ma a quanto pare è sbagliato

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Data la seguente equazione complessa:

[math](z - \text{i})^3 = 2\,e^{\text{i}\frac{2}{3}\pi} \; , \\[/math]

molto semplicemente, segue che:

[math]\begin{aligned}

& z_1 - \text{i} = \sqrt[3]{2}\left[ \cos\left(\frac{\frac{2}{3}\pi + 2\cdot 0 \cdot \pi}{3}\right) +\text{i}\sin\left(\frac{\frac{2}{3}\pi + 2\cdot 0 \cdot \pi}{3}\right)\right] \; ; \\

& z_2 - \text{i} = \sqrt[3]{2}\left[ \cos\left(\frac{\frac{2}{3}\pi + 2\cdot 1 \cdot \pi}{3}\right) +\text{i}\sin\left(\frac{\frac{2}{3}\pi + 2\cdot 1 \cdot \pi}{3}\right)\right] \; ; \\

& z_3 - \text{i} = \sqrt[3]{2}\left[ \cos\left(\frac{\frac{2}{3}\pi + 2\cdot 2 \cdot \pi}{3}\right) +\text{i}\sin\left(\frac{\frac{2}{3}\pi + 2\cdot 2 \cdot \pi}{3}\right)\right] \; ;

\end{aligned}\\[/math]

ossia:

[math]\begin{aligned}

& z_1 = \sqrt[3]{2}\left( \cos\frac{2\pi}{9} + \text{i}\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}} + \sin\frac{2\pi}{9}\right) \right) \approx 0.965 + 1.810\,\text{i} \; ; \\

& z_2 = \sqrt[3]{2}\left( - \cos\frac{\pi}{9} + \text{i}\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}} + \sin\frac{\pi}{9}\right) \right) \approx -1.184 + 1.431\,\text{i} \; ; \\

& z_3 = \sqrt[3]{2}\left( \sin\frac{\pi}{18} + \text{i}\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}} - \cos\frac{\pi}{18}\right) \right) \approx 0.219 - 0.241\,\text{i} \; . \\

\end{aligned}\\[/math]

Tutto qui. ;)