Radici complesse di un polinomio

[Gianni Trattore]

Salve, mi trovo davanti ad un polinomio del tipo $(z^3 +27)^5$, ho 5 possibili risposte e non ho ben chiaro come arrivare a quella corretta: mi viene chiesto se le radici del polinomio

-hanno tutte la stessa molteplicita'
-sono 15 numeri complessi tutti distinti
-hanno tutte modulo -3
-hanno tutte lo stesso argomento
-sono tutte reali

Ho pensato di poterla risolvere facilmente facendo $z^3=-27$ e quindi $z=-3$ con molteplicità 15.
Ho quindi pensato che le radici fossero tutte reali, quindi tutte con argomento 0, quindi mi sono trovato davanti a 2 delle risposte possibili, entrambe sbagliate ovviamente, siccome la risposta giusta e' hanno tutte la stessa molteplitcita'.
Chiedo se qualcuno sia in grado di chiarire i miei dubbi riguardo ad un simile problema

Edit:
Guardando bene mi sono accorto che $z^3=-27$ dotrebbe avere una soluzione reale e 2 complesse, e dunque ognuna delle 3 soluzioni ha molteplicita' 5. E' corretto o mi sfugge ancora qualcosa?

[pilloeffe]

Ciao Gianni Trattore,

Eh beh, $ z^3 + 27 = z^3 + 3^3 = (z + 3)(z^2 - 3z + 9) $, quindi si ha:

$ (z^3 + 27)^5 = (z + 3)^5 (z^2 - 3z + 9)^5 $

Pertanto ovviamente la risposta corretta è...

[Gianni Trattore]

Grazie