Radici Complesse binomio
Salve non ho ben chiaro come procedere per calcolare le radici della funzione $ x^4+16=0 $. Qualcuno può dirmi come procedere ? Io procedo con la formula $ root(4)(16(cos(pi+2pik)+isen(pi+2pik))) $ e poi trovo le soluzioni in forma trigonometrica, ma se volessi trovare le soluzioni in forma algebrica, ce un metodo piu veloce della trasformazione da trigonometrica a forma algebrica ?
Risposte
Semplicemente, completa il quadrato.
Ad esempio, $x^4 + 16 = x^4 + 8x^2 + 16 - 8x^2 = (x^2 + 4)^2 - 8 x^2$ e procedi con la differenza di quadrati.
Sono tecniche elementari, da scuola (non da Analisi) superiore.
Ad esempio, $x^4 + 16 = x^4 + 8x^2 + 16 - 8x^2 = (x^2 + 4)^2 - 8 x^2$ e procedi con la differenza di quadrati.
Sono tecniche elementari, da scuola (non da Analisi) superiore.
Ciao Titan94,
In questi casi, oltre a quanto ti ha già suggerito gugo82, consiglierei di passare sempre alla forma esponenziale, perché da essa è poi più semplice trovare la forma trigonometrica e poi, volendo, quella algebrica, almeno per gli angoli "facili" come quelli del caso in esame. Infatti si ha:
$x^4 + 16 = 0 $
$x^4 = - 16 $
$\rho^4 e^{i4\theta} = 16 e^{i\pi} \implies \rho = 2 $ e $4\theta = \pi + 2k \pi \implies \theta = \pi/4 + k\pi/2 $, $k = 0, 1, 2, 3 $ (poi le soluzioni si ripetono).
Dunque le $4 $ soluzioni dell'equazione proposta sono le seguenti:
$x_0 = 2 e^{i\pi/4} = 2[cos(\pi/4) + i sin(\pi/4)] = 2[sqrt2/2 + i sqrt2/2] = sqrt2 + i sqrt2 $
$x_1 = 2 e^{i(3\pi)/4} = 2[cos((3\pi)/4) + i sin((3\pi)/4)] = 2[- sqrt2/2 + i sqrt2/2] = - sqrt2 + i sqrt2 $
$x_2 = 2 e^{i(5\pi)/4} = 2[cos((5\pi)/4) + i sin((5\pi)/4)] = 2[- sqrt2/2 - i sqrt2/2] = - sqrt2 - i sqrt2 $
$x_3 = 2 e^{i(7\pi)/4} = 2[cos((7\pi)/4) + i sin((7\pi)/4)] = 2[sqrt2/2 - i sqrt2/2] = sqrt2 - i sqrt2 $
Le $4$ soluzioni disposte sul piano complesso sono i vertici di un quadrato di lato $2 sqrt2 $ le cui diagonali di lunghezza $4$ si incontrano nell'origine degli assi.
"Titan94":
c'è un metodo più veloce della trasformazione da trigonometrica a forma algebrica ?
In questi casi, oltre a quanto ti ha già suggerito gugo82, consiglierei di passare sempre alla forma esponenziale, perché da essa è poi più semplice trovare la forma trigonometrica e poi, volendo, quella algebrica, almeno per gli angoli "facili" come quelli del caso in esame. Infatti si ha:
$x^4 + 16 = 0 $
$x^4 = - 16 $
$\rho^4 e^{i4\theta} = 16 e^{i\pi} \implies \rho = 2 $ e $4\theta = \pi + 2k \pi \implies \theta = \pi/4 + k\pi/2 $, $k = 0, 1, 2, 3 $ (poi le soluzioni si ripetono).
Dunque le $4 $ soluzioni dell'equazione proposta sono le seguenti:
$x_0 = 2 e^{i\pi/4} = 2[cos(\pi/4) + i sin(\pi/4)] = 2[sqrt2/2 + i sqrt2/2] = sqrt2 + i sqrt2 $
$x_1 = 2 e^{i(3\pi)/4} = 2[cos((3\pi)/4) + i sin((3\pi)/4)] = 2[- sqrt2/2 + i sqrt2/2] = - sqrt2 + i sqrt2 $
$x_2 = 2 e^{i(5\pi)/4} = 2[cos((5\pi)/4) + i sin((5\pi)/4)] = 2[- sqrt2/2 - i sqrt2/2] = - sqrt2 - i sqrt2 $
$x_3 = 2 e^{i(7\pi)/4} = 2[cos((7\pi)/4) + i sin((7\pi)/4)] = 2[sqrt2/2 - i sqrt2/2] = sqrt2 - i sqrt2 $
Le $4$ soluzioni disposte sul piano complesso sono i vertici di un quadrato di lato $2 sqrt2 $ le cui diagonali di lunghezza $4$ si incontrano nell'origine degli assi.
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