Radici complesse
E' più forte di me, non riesco a farmi entrare in testa questi numeri complessi. Potete darmi una mano?
Un esempio semplice: $t^2 + 1 = 0$
Ovviamente, è facile dedurre $t^2 + 1 = (t-i)(t+i)$ e da qui le due radici. Se però volessimo calcolarli analiticamente con De Moivre?
$t^2 = -1 -> |t|^2 \cdot e^(2 "arg"t) = 1\cdot e^(i\pi)$
In forma trigonometrica:
$ |t|^2 \cdot [ cos( "arg"t ) + i sin( "arg"t ) ]^2 = 1 \cdot [ cos pi + i sin pi ] $
Per De Moivre:
$ |t|^2 \cdot [ cos( 2 "arg"t ) + i sin( 2 "arg"t ) ] = 1 \cdot [ cos pi + i sin pi ] $
Ed infine, per il principio di equivalenza di polinomi:
$ { ( |t| = \sqrt{1} = 1 ),( 2 "arg"t = pi + 2kpi ):} $ con $k = 0,1$
Cui deduciamo:
$ "arg"t = \frac{ pi + 2kpi }{2} $
Ovvero:
$t_1 = 2\sqrt(2)(1+i)$ $t_2 = 2\sqrt(2)(1-i)$
Che non è proprio la risposta che mi aspettavo. Purtroppo nel mio libro di metodi matematici non c'è molto, in quanto danno queste cose per scontato ( ovviamente ) tuttavia in analisi 1 non abbiamo approfondito ( per niente ) i numeri complessi e non ho ancora molta dimestichezza con essi. Mi date una mano?
Un esempio semplice: $t^2 + 1 = 0$
Ovviamente, è facile dedurre $t^2 + 1 = (t-i)(t+i)$ e da qui le due radici. Se però volessimo calcolarli analiticamente con De Moivre?
$t^2 = -1 -> |t|^2 \cdot e^(2 "arg"t) = 1\cdot e^(i\pi)$
In forma trigonometrica:
$ |t|^2 \cdot [ cos( "arg"t ) + i sin( "arg"t ) ]^2 = 1 \cdot [ cos pi + i sin pi ] $
Per De Moivre:
$ |t|^2 \cdot [ cos( 2 "arg"t ) + i sin( 2 "arg"t ) ] = 1 \cdot [ cos pi + i sin pi ] $
Ed infine, per il principio di equivalenza di polinomi:
$ { ( |t| = \sqrt{1} = 1 ),( 2 "arg"t = pi + 2kpi ):} $ con $k = 0,1$
Cui deduciamo:
$ "arg"t = \frac{ pi + 2kpi }{2} $
Ovvero:
$t_1 = 2\sqrt(2)(1+i)$ $t_2 = 2\sqrt(2)(1-i)$
Che non è proprio la risposta che mi aspettavo. Purtroppo nel mio libro di metodi matematici non c'è molto, in quanto danno queste cose per scontato ( ovviamente ) tuttavia in analisi 1 non abbiamo approfondito ( per niente ) i numeri complessi e non ho ancora molta dimestichezza con essi. Mi date una mano?
Risposte
In base a quale formula/risultato hai dedotto che è
?
$t_1 = 2\sqrt(2)(1+i)$ $t_2 = 2\sqrt(2)(1-i)$
"pater46":
$ "arg"t = \frac{ pi + 2kpi }{2} $
$ "arg"_1 t = pi/2 $, $ "arg"_2 t = 3pi/2 $
Dunque:
$ |t|^2 [ cos ( "arg"_1 t ) + i sin ( "arg"_1 t ) ] = 1 [ cos pi/2 + i sin pi/2 ] = 2sqrt{2} + 2i\sqrt{2} $
$ |t|^2 [ cos ( "arg"_2 t ) + i sin ( "arg"_2 t ) ] = 1 [ cos 3pi/2 + i sin 3pi/2 ] = "..." $
Momento momento momento...
Cavolo.
Mi ero dimenticato che $pi/2 = 90°$. Ora piango.
Ecco cosa comporta studiare senza aver prima mangiato.. Scusate il disturbo, sicuramente continuerò a postare qualche altra domanda che mi verrà in mente in questo topic!
Eccoci di nuovo 
Non apro un'altro topic perchè sarebbe inutile, l'argomento è affine. Funzione $varphi(t) = 1/(t^4+1)$
Col metodo sopra enunciato trovo le discontinuità in: $e^(i/4pi), e^(i3/4pi), e^(i5/4pi), e^(i7/4pi)$.
Posso allora scrivere $varphi(t) = frac{1}{(t-e^(i pi/4))(t-e^(i 3pi/4))(t-e^(i 5pi/4))(t-e^(i 7pi/4))}$.
Ma come faccio ora a trovare che tipo di discontinuità sono? Procedo coi limiti.
$lim_{t->e^(pi/4)} varphi(t) $ non dovrebbe esistere, in quanto avvicinandosi da destra e da sinistra trovo $+-oo$. Ne deduco che è una singolarità essenziale.. o sbaglio?
In tal caso, come calcolo il residuo? Devo necessariamente sviluppare in serie?
$1/(t^4+1) = 1/(1-(-t^4)) = sum_{n=0}^(oo) (-1)^n t^(4n)$
Qui ora mi nasce un'altro dubbio. Il termine generale della serie non coincide con quello "standard" delle serie di potenze $a_n(z-z_0)^n$ in quanto il termine in $t$ ha potenza $4n$. Come procedo?
Ho passato la mattinata a ripassare la teoria, non ho trovato niente che mi aiuti.. Mi date una mano?
Non apro un'altro topic perchè sarebbe inutile, l'argomento è affine. Funzione $varphi(t) = 1/(t^4+1)$Col metodo sopra enunciato trovo le discontinuità in: $e^(i/4pi), e^(i3/4pi), e^(i5/4pi), e^(i7/4pi)$.
Posso allora scrivere $varphi(t) = frac{1}{(t-e^(i pi/4))(t-e^(i 3pi/4))(t-e^(i 5pi/4))(t-e^(i 7pi/4))}$.
Ma come faccio ora a trovare che tipo di discontinuità sono? Procedo coi limiti.
$lim_{t->e^(pi/4)} varphi(t) $ non dovrebbe esistere, in quanto avvicinandosi da destra e da sinistra trovo $+-oo$. Ne deduco che è una singolarità essenziale.. o sbaglio?
In tal caso, come calcolo il residuo? Devo necessariamente sviluppare in serie?
$1/(t^4+1) = 1/(1-(-t^4)) = sum_{n=0}^(oo) (-1)^n t^(4n)$
Qui ora mi nasce un'altro dubbio. Il termine generale della serie non coincide con quello "standard" delle serie di potenze $a_n(z-z_0)^n$ in quanto il termine in $t$ ha potenza $4n$. Come procedo?
Ho passato la mattinata a ripassare la teoria, non ho trovato niente che mi aiuti.. Mi date una mano?
Una singolarità essenziale... Ma sei sicuro? A me paiono quattro poli semplici.
Eh... Il limite per $t->e^(ipi/4)$ della $varphi$ diverge... Però da sinistra va a $-oo$, mentre da destra a $+oo$. Rientra questo caso nella definizione di polo?
Effettivamente applicando l'altra definizione si ha che $lim_{t->e^(ipi/4)} (t-e^(ipi/4))varphi(t) = k <+oo$, dunque è un polo. Ok.
Allora posso applicare la formula per il calcolo del residuo, ed in particolare trovo $Res(\varphi(t), e^(ipi/4)) = k$.
Il procedimento di prima è comunque utilizzabile, no? Come me la sarei dovuta cavare con quel termine generale?
Effettivamente applicando l'altra definizione si ha che $lim_{t->e^(ipi/4)} (t-e^(ipi/4))varphi(t) = k <+oo$, dunque è un polo. Ok.
Allora posso applicare la formula per il calcolo del residuo, ed in particolare trovo $Res(\varphi(t), e^(ipi/4)) = k$.
Il procedimento di prima è comunque utilizzabile, no? Come me la sarei dovuta cavare con quel termine generale?
Scusa pater, che significa "da destra" e "da sinistra" quando parli di limite di variabile complessa? Mi sa che stai combinando qualche altro casino. 
Oddio.. grazie dissonance per l'aiuto
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