Radici complesse
Salve ragazzi, è da due giorni che sbatto la testa su questo esercizio stupido.. Non riesco ad arrivare alla soluzione che da il libro.. Allora: $ z^4=-2 $
Avendo studiato dal libro ho visto che le 4 soluzioni dell'equazione sono date dalla formula : $ z_n=\ |w|^(1/n) *e^(1/n(arg _w+2kpi) $ che è equivalente a : $ || w|| ^(1/n)[cos(varphi+2kpi)/n+i*sen(varphi+2kpi)/n] $ , ma la prima delle mie soluzioni mi viene $ root(3)(8) $ . Dove sbaglio? potete farmi un esempio simile che mi chiarisca tale risoluzione?? grazie
Avendo studiato dal libro ho visto che le 4 soluzioni dell'equazione sono date dalla formula : $ z_n=\ |w|^(1/n) *e^(1/n(arg _w+2kpi) $ che è equivalente a : $ || w|| ^(1/n)[cos(varphi+2kpi)/n+i*sen(varphi+2kpi)/n] $ , ma la prima delle mie soluzioni mi viene $ root(3)(8) $ . Dove sbaglio? potete farmi un esempio simile che mi chiarisca tale risoluzione?? grazie
Risposte
Puoi scrivere $-2=2(\cos\pi+i\sin\pi)$. A questo punto, applicando la formula per le radici di ordine $4$ di $z$ ottieni
$$z_k=\sqrt[4]{2}\left(\cos\frac{\pi+2k\pi}{4}+i\sin\frac{\pi+2k\pi}{4}\right),\qquad k=0,1,2,3$$
Con veloci calcoli puoi verificare che
$$z_0=\sqrt[4]{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\
z_1=\sqrt[4]{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\
z_2=\sqrt[4]{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\
z_3=\sqrt[4]{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
Vorrei sapere come hai fatto a calcolare quella soluzione, visto che
$$(\sqrt[3]{8})^4=16\ne -2$$
e quindi, ovviamente, non è una soluzione.
$$z_k=\sqrt[4]{2}\left(\cos\frac{\pi+2k\pi}{4}+i\sin\frac{\pi+2k\pi}{4}\right),\qquad k=0,1,2,3$$
Con veloci calcoli puoi verificare che
$$z_0=\sqrt[4]{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\
z_1=\sqrt[4]{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\
z_2=\sqrt[4]{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\
z_3=\sqrt[4]{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
Vorrei sapere come hai fatto a calcolare quella soluzione, visto che
$$(\sqrt[3]{8})^4=16\ne -2$$
e quindi, ovviamente, non è una soluzione.
quello che non capisco è perchè l'angolo debba essere $pi$, visto che $ vartheta = arccos (x/|z|) $ e $ |z| =sqrt(x^2+y^2)=sqrt(x^2)=x $ . Quindi $ arccos (x/|z| )=arccos (x/x)=0 $ .
$ root(4)(2)*cos(2kpi/n)+i sen(2kpi/n) $ per k=0,1,2,3;
$ root(4)(2)*cos(2kpi/n)+i sen(2kpi/n) $ per k=0,1,2,3;
Poi io studio dal Berstch, ma non l'ho trovato così chiaro; quale libro mi consigliate??
per l'angolo $\theta$ NON è necessario usare $\arccos$
allora dato un numero complesso $ z=x+iy $ .. $\rho=\sqrt(x^2+y^2)$
mentre l'argomento (cioè l'angolo) è individuato dalle formule $ { ( \cos\theta=(x)/(\sqrt(x^2+y^2)) ),( \sin\theta=(y)/(\sqrt(x^2+y^2)) ):} $
Esempio
[ot]$ z=1+i\to \rho=\sqrt(2)\to \cos\theta=(1)/(\sqrt(2))=\sin\theta\to \theta=\pi/4 $
allora in forma trigonometrica $ z=\sqrt(2)(\cos(\pi/4)+isin(\pi/4)) $[/ot]
se $z=a$ con $a\in RR$, con $a<0$ come nel tuo caso.. si ha $ { ( \cos\theta=-1 ),( \sin\theta=0 ):} $
quindi $ z=-a(\cos\pi+i\sin\pi) $
PER TROVARE LE RADICI si ha la seguente formula
sia $ z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta) $
la formula per trovare le radici è $ \rho^(1/n)(\cos((\theta+2k\pi)/(n))+i\sin((\theta+2kpi)/(n))) $
con $ k=0,1,......,n-1 $
Per quanto riguarda il libro di testo..dipende da che facoltà fai.. se fai ingegneria ti consiglio
Bramanti-Pagani-Salsa
Analisi Matematica 1
Editore: Zanichelli
allora dato un numero complesso $ z=x+iy $ .. $\rho=\sqrt(x^2+y^2)$
mentre l'argomento (cioè l'angolo) è individuato dalle formule $ { ( \cos\theta=(x)/(\sqrt(x^2+y^2)) ),( \sin\theta=(y)/(\sqrt(x^2+y^2)) ):} $
Esempio
[ot]$ z=1+i\to \rho=\sqrt(2)\to \cos\theta=(1)/(\sqrt(2))=\sin\theta\to \theta=\pi/4 $
allora in forma trigonometrica $ z=\sqrt(2)(\cos(\pi/4)+isin(\pi/4)) $[/ot]
se $z=a$ con $a\in RR$, con $a<0$ come nel tuo caso.. si ha $ { ( \cos\theta=-1 ),( \sin\theta=0 ):} $
quindi $ z=-a(\cos\pi+i\sin\pi) $
PER TROVARE LE RADICI si ha la seguente formula
sia $ z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta) $
la formula per trovare le radici è $ \rho^(1/n)(\cos((\theta+2k\pi)/(n))+i\sin((\theta+2kpi)/(n))) $
con $ k=0,1,......,n-1 $
Per quanto riguarda il libro di testo..dipende da che facoltà fai.. se fai ingegneria ti consiglio
Bramanti-Pagani-Salsa
Analisi Matematica 1
Editore: Zanichelli
Scusami.. Posto tutto quello che ho scritto perchè ci sto perdendo qualche anno di vita..
Allora: $ z^4=-2 $ quindi $ z=root(4)(2) $ dove $ root(4)(2) $ è la $ x $ mentre $y=0$, quindi $ p=sqrt(x^2+y^2)=x $ , $ cosvartheta =x/x=1,senvartheta =0/x=0 $.. Poi per trovare le soluzioni mi devo trovare sempre l'angolo , e quindi fare l'arcoseno.. Dove sbaglio?
Allora: $ z^4=-2 $ quindi $ z=root(4)(2) $ dove $ root(4)(2) $ è la $ x $ mentre $y=0$, quindi $ p=sqrt(x^2+y^2)=x $ , $ cosvartheta =x/x=1,senvartheta =0/x=0 $.. Poi per trovare le soluzioni mi devo trovare sempre l'angolo , e quindi fare l'arcoseno.. Dove sbaglio?
ATTENZIONE.. quello che ho scritto è
quello che hai scritto tu
In questo caso.. il tuo numero complesso (tralasciando le radici) è $ z=-2 $
per cui se lo confronti con $ z=x+iy $ .. in questo caso la tua $ x=-2$ e $y=0$
rifai i calcoli con le formule.. usando $ x=-2 $
"21zuclo":
per l'angolo $\theta$ NON è necessario usare $\arccos$
allora dato un numero complesso $ z=x+iy $ .. $\rho=\sqrt(x^2+y^2)$
mentre l'argomento (cioè l'angolo) è individuato dalle formule $ { ( \cos\theta=(x)/(\sqrt(x^2+y^2)) ),( \sin\theta=(y)/(\sqrt(x^2+y^2)) ):} $
quello che hai scritto tu
"vich":
Scusami.. Posto tutto quello che ho scritto perchè ci sto perdendo qualche anno di vita..
Allora: $ z^4=-2 $ quindi $ z=root(4)(2) $ dove $ root(4)(2) $ è la $ x $ mentre $ y=0 $, quindi $ p=sqrt(x^2+y^2)=x $ , $ cosvartheta =x/x=1,senvartheta =0/x=0 $.. Poi per trovare le soluzioni mi devo trovare sempre l'angolo , e quindi fare l'arcoseno.. Dove sbaglio?
In questo caso.. il tuo numero complesso (tralasciando le radici) è $ z=-2 $
per cui se lo confronti con $ z=x+iy $ .. in questo caso la tua $ x=-2$ e $y=0$
rifai i calcoli con le formule.. usando $ x=-2 $
scusa se $z^4=-2$, $ z=root(4)(-2 $, giusto??
"vich":
scusa se $z^4=-2$, $ z=root(4)(-2 $, giusto??
NO!..
perchè in questo caso il tuo $\rho$ è $\rho=\sqrt((-2)^2)=\sqrt(4)=2$
quindi..dalla formula che ho scritto per le radici è $\rho^(1/n)=2^(1/4)$
e poi applichi la formula..delle radici..su $\cos$ e $\sin$
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