Radice quarta di un numero complesso

[bigtony1]

Salve a tutti! Vorrei mostrarvi questo esercizio sui numeri complessi:
Trovare le radici del seguente numero complesso:
[tex]z^4=i[/tex]
Vi mostro il mio procedimento:
[tex]z^4=i\\
z=x+iy\\
x=0 , y=1\\
|z|=\sqrt(0^2+1^2)=\sqrt1=1\\
Arg(z):\\
cos(\theta)=\frac{0}{1}=0\\
sen(\theta)=\frac{1}{1}=1\\
\theta=\frac{\pi}{2}[/tex]
Applico la formula per trovare le radici dei numeri complessi:
[tex]z=\sqrt[4]1(cos(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{4})+isen(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{4}))[/tex] con [tex]k=0,1,2,3[/tex]
Svolgendo i calcoli mi trovo le seguenti radici:
[tex]z_0=\frac{\sqrt(\sqrt2+2)}{2}+i\frac{\sqrt(2-\sqrt2)}{2}\\
z_1=-\frac{\sqrt(2-\sqrt2)}{2}+i\frac{\sqrt(\sqrt2+2)}{2}\\
z_2=-\frac{\sqrt(\sqrt2+2)}{2}-i\frac{\sqrt(2-\sqrt2)}{2}\\
z_3=\frac{\sqrt(2-\sqrt2)}{2}-i\frac{\sqrt(\sqrt2+2)}{2}[/tex]
Il mio dubbio sorge proprio qui. Non avendo i risultati con cui confrontarmi ho utilizzato Wolframalpha per verificarli, però mi riporta queste soluzioni:
[tex]z=-\sqrt[8](-1)\\
z=\sqrt[8](-1)\\
z=-(-1)^(\frac{5}{8})\\
z=(-1)^(\frac{5}{8})[/tex]
Ho ricontrollato i miei calcoli ma non riesco a capire dov'è che sbaglio (se sbaglio ).
Mi affido a voi esperti, grazie.

[kamal19]

ciao
il tuo procedimento è giusto, le radici quarte di $i$ sono giuste.

[Berationalgetreal]

Credo che Wolfram Alpha faccia in questo modo:

\[ z^2 = \lambda \implies \lambda^2 = i \implies \lambda = \pm \sqrt{i} \implies z_1 = \sqrt [8] {-1}, \ z_2 = - \sqrt [8] {-1}, \ z_3 = \sqrt {- \sqrt{i}}, \ z_4 =- \sqrt{-\sqrt{i}} \]

[bigtony1]

Vi ringrazio per aver verificato l'esercizio. Però mi viene da chiedervi: pur essendo entrambi i metodi giusti con risultati apparentemente diversi, quale risulta più corretto da usare in sede di esame?