Radice quadrata di un numero complesso
Non riesco proprio a risolvere questo esercizio che dice
"Calcolare il valore di z, radice quadrata del numero complesso \(\displaystyle w=-15-8i \)
Il risultato dovrebbe essere \(\displaystyle Z=-1+4i \) e \(\displaystyle 1-4i \)
A me viene tutt'altro.. tipo
\(\displaystyle Z= 17*e^(k*pigreco) \)
"Calcolare il valore di z, radice quadrata del numero complesso \(\displaystyle w=-15-8i \)
Il risultato dovrebbe essere \(\displaystyle Z=-1+4i \) e \(\displaystyle 1-4i \)
A me viene tutt'altro.. tipo
\(\displaystyle Z= 17*e^(k*pigreco) \)
Risposte
Comincierei dal notare che dire «la» radice quadrata è sbagliato, perché esistono sempre due (distinti) numeri tali che \(z^2=w\).
In ogni caso è facile verificare che
\[
(-1+4i)^2=1-16-8i=-15-8i
\]
e lo stesso per l'altro, quindi sono corretti.
Non saprei come hai ottenuto quel risultato, che oltretutto è palesemente errato dato che è reale.
In ogni caso è facile verificare che
\[
(-1+4i)^2=1-16-8i=-15-8i
\]
e lo stesso per l'altro, quindi sono corretti.
Non saprei come hai ottenuto quel risultato, che oltretutto è palesemente errato dato che è reale.
E ma come si fa a trovare quel risultato?
Io ho usato queste formule http://www.****.it/lezioni/analisi-matematica/numeri-complessi/760-calcolare-le-radici-di-un-numero-complesso.html che poi sono qeulle che ci ha spiegato la prof.. mi vuoi dire he il testo dell'esercizio è sbagliato?
Io ho usato queste formule http://www.****.it/lezioni/analisi-matematica/numeri-complessi/760-calcolare-le-radici-di-un-numero-complesso.html che poi sono qeulle che ci ha spiegato la prof.. mi vuoi dire he il testo dell'esercizio è sbagliato?
No, il testo dell'esercizio evidentemente è giusto.
Come prima cosa direi di portare \(w\) in forma trigonometrica: sai che il modulo è \(17\), dunque dovremmo trovare un angolo \(\theta\) tale che \(\cos\theta=-\frac{15}{17}\) e \(\sin\theta=-\frac8{15}\), cosa che però mi sembra complicata.
Come prima cosa direi di portare \(w\) in forma trigonometrica: sai che il modulo è \(17\), dunque dovremmo trovare un angolo \(\theta\) tale che \(\cos\theta=-\frac{15}{17}\) e \(\sin\theta=-\frac8{15}\), cosa che però mi sembra complicata.
Esatto! Io ho ragionato proprio il quel modo e quindi dopo non sspevo cosa fare.. tu cosa avresti fatto? 
In questo caso la forma trigonometrica non porta a risultati perché gli angoli che ne risultano non sono noti.
Conviene procedere e porre $ z=a+ib $ ; dobbiamo determinare $a, b$.
Quindi $sqrt(-15-8i)= a+ib $ elevo e ottengo $-15-8i= a^2-b^2+2iab $ da cui uguagliando parti reali e parti immaginarie si ottiene il sistema :
$ ab=-4 $
$a^2-b^2= -15 $
ricavando dalla prima $b=-4/a $ e sostituendo nella seconda :$ a^2-16/a^2=-15 $ che è una equazione biquadratica risolvibile facilmente , prosegui tu
Conviene procedere e porre $ z=a+ib $ ; dobbiamo determinare $a, b$.
Quindi $sqrt(-15-8i)= a+ib $ elevo e ottengo $-15-8i= a^2-b^2+2iab $ da cui uguagliando parti reali e parti immaginarie si ottiene il sistema :
$ ab=-4 $
$a^2-b^2= -15 $
ricavando dalla prima $b=-4/a $ e sostituendo nella seconda :$ a^2-16/a^2=-15 $ che è una equazione biquadratica risolvibile facilmente , prosegui tu
Trattandosi di radici quadrate, la questione si può risolvere, o ricordando la formula di bisezione per la tangente:
$ tan \frac \alpha 2 = \frac {1-cos \alpha} {sin \alpha} $, o indicando con $ x+iy $ quel che si cerca, risolvendo il sistema
\( \begin{cases} x^2-y^2=-15\\ 2xy=-8 \end{cases} \)
Ciao
B.
$ tan \frac \alpha 2 = \frac {1-cos \alpha} {sin \alpha} $, o indicando con $ x+iy $ quel che si cerca, risolvendo il sistema
\( \begin{cases} x^2-y^2=-15\\ 2xy=-8 \end{cases} \)
Ciao
B.
Ho seguito il ragionamento di Camillo semplicemente perchè una volta la professoressa ha accennato a quel tipo di uguaglianza!
Comunque poi mi vengono un po di soluzioni:
se a=+1 b=-4
a=-1 b=4
a=-4 b=1
a=4 b=-1
Un'altra domanda.. ma questo discorso quindi lo posso fare ogni qualvolta mi trovo con un esercizio in cui l'angolo non è noto?
Comunque poi mi vengono un po di soluzioni:
se a=+1 b=-4
a=-1 b=4
a=-4 b=1
a=4 b=-1
Un'altra domanda.. ma questo discorso quindi lo posso fare ogni qualvolta mi trovo con un esercizio in cui l'angolo non è noto?
Certo! Per radici quadrate.
Le ultime due soluzioni che hai indicato non soddisfano il sistema.
Quello con la formula di bisezione è il metodo più rapido.
Ciao
B.
Le ultime due soluzioni che hai indicato non soddisfano il sistema.
Quello con la formula di bisezione è il metodo più rapido.
Ciao
B.
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