Radice n pari dubbio + e - e come soluzioni
Buonasera,
ho deciso di cercare un forum per giungere a una risposta definitiva ad un dubbio che mi porto dietro da tempo.Premetto che non studio e non ho studiato se non alle superiori matematica. Mi è però sorta una voglia irrefrenabile di imparare di più e sto partendo dalle basi, mi trovo tuttavia con un dubbio al quale non trovo risposta nemmeno su internet ed eccomi qui...
Dopo la breve presentazione passiamo al dubbio:
Come vi dicevo non riesco a districarmi su un concetto che trovo spiegato ovunque in maniera non esaustiva e confido in voi,
1) So che la radice (prendiamo quadrata) di un numero è definita come quel numero positivo tale che elevato a 2 mi restituirà il numero di partenza.
Detto questo, si parla quindi di numeri positivi, però mi sorge una prima domanda/curisità, così facendo non perdo soluzioni? Infatti se avessi x=√16 in realtà radice di 16 potrebbe sia essere data da -4 che da 4 se prendo solo le positive vado ad intaccare il senso dell'eqauzione. Perché invece definirla solo con risultato positivo non intacca il senso logico dell'equazione? (Non mi è per nulla chiaro)
2) Perché quando ho x=4 vado a scrivere ±√x^2=±√16 cioè la nota formula x=±4?
Intendo dire:
-a- non capisco se scrivo così perché in questo caso io sto cercando le soluzioni dunque in questo caso non si definisce la funzione radicale ma si cercano appunto LE soluzion(I) (sia la possibile positiva che negativa) dunque x^2 ha evidentemente valore sia +x che -x e così anche per quel numero che genera 16 che è +4 e -4 (entrambi valida soluzione) a questo punto associandole avrei x=±4.
-b- oppure anche in tale caso sto usando la nozione di radicale "Positivo" dunque l'operazione √x^2 ha per forza valore positivo, a questo punto dico |x|=4 cioè avrò
- quindi x=4
- quindi avrei -x=4 cioè x=-4
A questo punto concludo che x=±4
Spero possiate fugarmi tutti e tre i dubbi (1, 2-a e 2-b) perché davvero non trovo soluzione online né sui libri che ho.
Grazie davvero e scusate la mia ignoranza
ho deciso di cercare un forum per giungere a una risposta definitiva ad un dubbio che mi porto dietro da tempo.Premetto che non studio e non ho studiato se non alle superiori matematica. Mi è però sorta una voglia irrefrenabile di imparare di più e sto partendo dalle basi, mi trovo tuttavia con un dubbio al quale non trovo risposta nemmeno su internet ed eccomi qui...
Dopo la breve presentazione passiamo al dubbio:
Come vi dicevo non riesco a districarmi su un concetto che trovo spiegato ovunque in maniera non esaustiva e confido in voi,
1) So che la radice (prendiamo quadrata) di un numero è definita come quel numero positivo tale che elevato a 2 mi restituirà il numero di partenza.
Detto questo, si parla quindi di numeri positivi, però mi sorge una prima domanda/curisità, così facendo non perdo soluzioni? Infatti se avessi x=√16 in realtà radice di 16 potrebbe sia essere data da -4 che da 4 se prendo solo le positive vado ad intaccare il senso dell'eqauzione. Perché invece definirla solo con risultato positivo non intacca il senso logico dell'equazione? (Non mi è per nulla chiaro)
2) Perché quando ho x=4 vado a scrivere ±√x^2=±√16 cioè la nota formula x=±4?
Intendo dire:
-a- non capisco se scrivo così perché in questo caso io sto cercando le soluzioni dunque in questo caso non si definisce la funzione radicale ma si cercano appunto LE soluzion(I) (sia la possibile positiva che negativa) dunque x^2 ha evidentemente valore sia +x che -x e così anche per quel numero che genera 16 che è +4 e -4 (entrambi valida soluzione) a questo punto associandole avrei x=±4.
-b- oppure anche in tale caso sto usando la nozione di radicale "Positivo" dunque l'operazione √x^2 ha per forza valore positivo, a questo punto dico |x|=4 cioè avrò
- quindi x=4
- quindi avrei -x=4 cioè x=-4
A questo punto concludo che x=±4
Spero possiate fugarmi tutti e tre i dubbi (1, 2-a e 2-b) perché davvero non trovo soluzione online né sui libri che ho.
Grazie davvero e scusate la mia ignoranza
Risposte
Tutto sta nella definizione di radice quadrata (o, più in generale, di radice $n$-esima)... La definizione della radice quadrata si basa sul seguente teorema:
il quale consente di dare la:
Ciò equivale a dire che la radice quadrata (o $n$-esima) di un numero non negativo $x$ è l'unica soluzione non negativa dell'equazione di secondo grado $y^2=x$ (o dell'equazione di grado $n$ $y^n=x$).
Sì dimostra, poi, che per $x>=0$ l'equazione $y^2=x$ ha due sole soluzioni, una non negativa che è $sqrt(x)$ e la seconda che è necessariamente l'opposta dell'altra, ossia $-sqrt(x)$.
Da ciò segue che tutte le soluzioni di $y^2=x$ sono rappresentate dalla formula $y=+-sqrt(x)$.
Per ogni numero reale $x\geq 0$ esiste un unico numero reale $y\geq 0$ tale che $y^2=x$.
Più in generale, comunque si scelga un numero naturale $n\geq 2$, per ogni numero reale $x\geq 0$ esiste un unico numero reale $y\geq 0$ tale che $y^n=x$.
il quale consente di dare la:
Definizione: Per ogni numero reale $x\geq 0$, l'unico numero reale $y\geq 0$ tale che $y^2=x$ (che esiste per il teorema precedente) si chiama radice quadrata di $x$ e si denota col simbolo $sqrt(x)$.
Più in generale, scelto un numero naturale $n\geq 2$, per ogni numero reale $x\geq 0$, l'unico numero reale $y\geq 0$ tale che $y^n=x$ (che esiste per il teorema precedente) si chiama radice $n$-esima di $x$ e si denota col simbolo \(\sqrt[n]{x}\).
Ciò equivale a dire che la radice quadrata (o $n$-esima) di un numero non negativo $x$ è l'unica soluzione non negativa dell'equazione di secondo grado $y^2=x$ (o dell'equazione di grado $n$ $y^n=x$).
Sì dimostra, poi, che per $x>=0$ l'equazione $y^2=x$ ha due sole soluzioni, una non negativa che è $sqrt(x)$ e la seconda che è necessariamente l'opposta dell'altra, ossia $-sqrt(x)$.
Da ciò segue che tutte le soluzioni di $y^2=x$ sono rappresentate dalla formula $y=+-sqrt(x)$.
Grazie mille!
Riordinando così le idee mi hai aggiustato tutto quel che non mi tornava.
Mi rimane solo una cosa poco chiara, ovvero:
Mettiamo di avere $y^2=16$ e di non sapere nulla sulle radici di una equazione, a questo punto mi direi ok, cerco qualcosa di sicuramente positivo perché so che la radice è positiva, si tratterà quindi di un numero del tipo y=4, però non proprio y, cerco tutti i positivi di esso,sarà quindi della forma |y|=4
e avrò i noti casi -y=4 (y=-4) e y=4. Cosa strana perché usando radicali dovrei avere solo positività, non cercavo le due soluzioni..
edito..
PS: forse ci sono, correggimi se sbaglio. Il vizio stànelmetere il modulo a y e dire -y e +y, y in quanto esce da radicale è positivo quindi avrei |y sicuramente positivo|=4 cioè y=4
E' Giusto?
Spero in una vostra risposta
Buon sabato
Riordinando così le idee mi hai aggiustato tutto quel che non mi tornava.
Mi rimane solo una cosa poco chiara, ovvero:
Mettiamo di avere $y^2=16$ e di non sapere nulla sulle radici di una equazione, a questo punto mi direi ok, cerco qualcosa di sicuramente positivo perché so che la radice è positiva, si tratterà quindi di un numero del tipo y=4, però non proprio y, cerco tutti i positivi di esso,sarà quindi della forma |y|=4
e avrò i noti casi -y=4 (y=-4) e y=4. Cosa strana perché usando radicali dovrei avere solo positività, non cercavo le due soluzioni..
edito..
PS: forse ci sono, correggimi se sbaglio. Il vizio stànelmetere il modulo a y e dire -y e +y, y in quanto esce da radicale è positivo quindi avrei |y sicuramente positivo|=4 cioè y=4
E' Giusto?
Spero in una vostra risposta
Buon sabato
La cosa che secondo me ti impedisce di capire è la tua convinzione fuorviante che le radici servano solo a risolvere le equazioni del tipo $x^n=y$, una cosa sono le soluzioni di questa equazione, un'altra è la funzione radice $n$-esima che in linea di principio sono cose distinte.
Innanzitutto dato che deve essere una funzione ad ogni valore deve associare un UNICO valore (ad esempio a $16$ viene associato $4$), ora che abbiamo definito questa funzione (seguendo la definizione di gugo82) possiamo in effetti trovare le soluzioni dell'equazione di partenza, perché (per semplicità $n=2$) $x^2=y<=>x=sqrty$ oppure $x=-sqrty$.
Ad esempio con l'equazione $x^2=16$ le soluzioni sono $x=+-4$.
Innanzitutto dato che deve essere una funzione ad ogni valore deve associare un UNICO valore (ad esempio a $16$ viene associato $4$), ora che abbiamo definito questa funzione (seguendo la definizione di gugo82) possiamo in effetti trovare le soluzioni dell'equazione di partenza, perché (per semplicità $n=2$) $x^2=y<=>x=sqrty$ oppure $x=-sqrty$.
Ad esempio con l'equazione $x^2=16$ le soluzioni sono $x=+-4$.
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