Radice ennesima(forse risolta)

[DR1]

Si vuole dimostrare l'esistenza della radice ennesima, quindi l'esistenza dell'estremo superiore di questo insieme
$A={a>=0:a^n<=y}$

mostriamo che $max{1,y}$ è un suo maggiorante
fissato $a in A$
se $a<=1$, allora $a<= max{1,y}$ vera
se $a > 1$, allora $a
poniamo $B={a^n:a in A}$
dobbiamo dimostrare che $S^n = "sup" B$ e poi sfruttiamo che $S^n = y$

proviamo che $S^n ="sup" B$
poiché $S^n>=a^n AA a in A, vale S^n >="sup" B$
per assurdo, supponiamo $S^n> "sup"B$ e poniamo $beta = "sup" B$, cosicché
risulta $S^n > beta$.
Allora $AA a in A$ si ha
$S-a=(S^n-a^n)/(S^(n-1)+S^(n-2)+...+Sa^(n-2)+a^(n-1))>=(S^n - beta)/(nS^(n-1))$

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essendo $S^(n-1)+S^(n-2)+...+Sa^(n-2)+a^(n-1)<=S^(n-1)+S^(n-1)+...+S^(n-1)=nS^(n-1)$
quindi si ottiene che non esiste $a in A $ tale che
$a>S-(S^n - beta)/(nS^(n-1))$
contro
$AA epsilon >0$
$EE a in a $
tale che
$ a>S- epsilon$ con $epsilon = (S^n - beta)/(nS^(n-1))$
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questa è la parte che non capisco ( in particolare, come si è concluso che non esiste una $a in A$ tale che $a>S-(S^n - beta)/(nS^(n-1))$ )

[DR1]

Se $S^(n-1)+S^(n-2)+...+Sa^(n-2)+a^(n-1)<=S^(n-1)+S^(n-1)+...+S^(n-1)=nS^(n-1)$
allora sicuramente
$S-a=(S^n-a^n)/(S^(n-1)+S^(n-2)+...+Sa^(n-2)+a^(n-1))>=(S^n - beta)/(nS^(n-1))$ vera ,
quindi
$S-a >=(S^n - beta)/(nS^(n-1))$
ricavo il valore di $a$
risulta quindi
$-a >=(S^n - beta)/(nS^(n-1))-S$
$a <=S-(S^n - beta)/(nS^(n-1))$
quindi si ottiene che non esiste $a in A $ tale che
$a>S-(S^n - beta)/(nS^(n-1))$
contro
$AA epsilon >0$
$EE a in a $
tale che
$ a>S- epsilon$ con $epsilon = (S^n - beta)/(nS^(n-1))$
Giusto ?

[DR1]

up (non lo fa in automatico, dopo la modifica del post)

[DR1]

Tralasciando le stupidate che ho scritto nei post precedenti.
http://www.carocci.it//files/old/allegati/allegato_1756.pdf
"Costruzione della radice: il teorema 1.11"
teorema 1.11
$y in RR$ , $y >= 0$ , $n >= 2$, allora $EE!r in RR$ , $r >=0 | r^n = y$
$r = "sup" { a >= 0 : a^n <=y }$
quello che non capisco e da dove viene fuori la parte destra di $ S-a=(S^n-a^n)/(S^(n-1)+S^(n-2)+...+Sa^(n-2)+a^(n-1))>=(S^n - alpha)/(nS^(n-1)) $

[anto_zoolander]

Ciao!

dai un'occhiata quì