Radice di un numero complesso
Buonasera,
ho deciso di registrarmi per cercare di risolvere con qualcuno un dubbio che mi attanaglia: la radice di un numero complesso.
Ho capito il motivo per cui esce una funzione polidroma, in particolare perché si può vedere come una soluzione di una particolare equazione esponenziale e l'esponenziale complesso ha la proprietàdi essere periodica:si aggiunge un 2kπ.
Tuttavia mi chiedo perché l'elevazione a potenza non subisa il medesimo problema, mi spiego (o almeno ci provo):
sia $z^(1/n)=w$ allora posso scrivere: $rho^(1/n) e^(i\theta/n)=r e^(i\phi)$ ora, se voglessi risolverla, avrei:
$rho^(1/n)=r <=> rho=r^n$
ma
$theta/n=phi+2kpi <=> theta=nphi+2nkpi$
cioé, ricomponendo il tutto:
$rho=r^n e^(nphi+2nkpi)$
eppure in generale non c'è quel $2nkpi$...
Grazie.
ho deciso di registrarmi per cercare di risolvere con qualcuno un dubbio che mi attanaglia: la radice di un numero complesso.
Ho capito il motivo per cui esce una funzione polidroma, in particolare perché si può vedere come una soluzione di una particolare equazione esponenziale e l'esponenziale complesso ha la proprietàdi essere periodica:si aggiunge un 2kπ.
Tuttavia mi chiedo perché l'elevazione a potenza non subisa il medesimo problema, mi spiego (o almeno ci provo):
sia $z^(1/n)=w$ allora posso scrivere: $rho^(1/n) e^(i\theta/n)=r e^(i\phi)$ ora, se voglessi risolverla, avrei:
$rho^(1/n)=r <=> rho=r^n$
ma
$theta/n=phi+2kpi <=> theta=nphi+2nkpi$
cioé, ricomponendo il tutto:
$rho=r^n e^(nphi+2nkpi)$
eppure in generale non c'è quel $2nkpi$...
Grazie.
Risposte
Hai mancato $i$ nell'esponenziale.
Osserva che $2nkpi$ è un multiplo di $2pi$, dunque per periodicità...
Osserva che $2nkpi$ è un multiplo di $2pi$, dunque per periodicità...
Grazie per il chiarimento 
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