Radice cubica di -1
come determinare, nel campo complesso, la radice cubica di -1 ossia $ (-1)^(1/3) $ ?
Risposte
Se stai studiando i numeri complessi, dovresti già conoscere la definizione di potenza e radice complessa.
Basta applicare la definizione.
Qual è?
Basta applicare la definizione.
Qual è?
Ciao tgrammer,
Visto che il caso è particolarmente semplice, in alternativa puoi risolvere anche così:
$x^3 = - 1 \implies x^3 + 1 = 0 \implies x^3 + 1^3 = 0 \implies (x + 1)(x^2 - x + 1) = 0 $
Visto che il caso è particolarmente semplice, in alternativa puoi risolvere anche così:
$x^3 = - 1 \implies x^3 + 1 = 0 \implies x^3 + 1^3 = 0 \implies (x + 1)(x^2 - x + 1) = 0 $
"axpgn":
Basta applicare la definizione.
Qual è?
devo arrivare a determinare $ z=rho cosvartheta +irho senvartheta $ quindi
calcolo il modulo $ rho =√(Re(z)^2+Im(z)^2)=√(-1)^(2/3)=(-1)^(1/3) $ e argomento $ vartheta =arctan(0) $
giusto?
"tgrammer":
[quote="axpgn"] Basta applicare la definizione.
Qual è?
devo arrivare a determinare $ z=rho cosvartheta +irho senvartheta $ quindi
calcolo il modulo $ rho =√(Re(z)^2+Im(z)^2)=√(-1)^(2/3)=(-1)^(1/3) $ e argomento $ vartheta =arctan(0) $
giusto?[/quote]
Il modulo di $-1$ è $1$. E $theta$ è $\pi$.
quindi una soluzione è $ e^(ipi $
però devo arrivare alle 3 soluzioni che sono $ -1 $ , $ e^(ipi/3 $ , $ e^(-ipi/3 $
scusami se c'è qualcosa che non sto ancora capendo
però devo arrivare alle 3 soluzioni che sono $ -1 $ , $ e^(ipi/3 $ , $ e^(-ipi/3 $
scusami se c'è qualcosa che non sto ancora capendo
"tgrammer":
però devo arrivare alle 3 soluzioni che sono $ -1 $ , $ e^(ipi/3 $ , $ e^(-ipi/3 $
scusami se c'è qualcosa che non sto ancora capendo
$3\pi=\pi$, $3\frac{\pi}{3}=\pi$, $3\frac{-pi}{3}=\pi$. Tutto mod $2\pi$ chiaramente.
forse geometricamente mi è chiaro, ma algebricamente non ho ben capito cosa hai fatto..
"tgrammer":
forse geometricamente mi è chiaro, ma algebricamente non ho ben capito cosa hai fatto..
Vuoi trovare le soluzioni di $3\theta=\pi mod 2\pi$. Chiaramente $\frac{\pi}{3}$ è una soluzione. E possiamo aggiungere $\frac{2\pi}{3}$ ad una soluzione e sarà ancora una soluzione. Quindi $\pi$ e $5\frac{\pi}{3}$ sono soluzioni. Ma chiamiamo $5\frac{\pi}{3}$ $\frac{-\pi}{3}$ perché sembra più pulito.
quindi il tutto parte dal constatare che $ pi=3pi $ che è quello che si ha con $ theta=pi/3 $ perchè $ 3theta=pi $
"tgrammer":
quindi il tutto parte dal constatare che $ pi=3pi $ che è quello che si ha con $ theta=pi/3 $ perchè $ 3theta=pi $
Non credo di capire.
Sappiamo che le radici cubiche sono i vertici di un triangolo equilatero col centro a 0. Quindi basta trovare una soluzione e le abbiamo tutte. Sappiamo che $-1$ è una soluzione quindi possiamo partire da lì. O se preferisci possiamo dire "L'argomento di $-1$ è $pi$ quindi una radice cubica ha argomento $\frac{\pi}{3}$" e partire da lì.
grazie mille
Forse non capisco cosa stai chiedendo.
@tgrammer
Fossi in te, ripartirei dalle definizioni in modo da assimilarle per bene altrimenti risolverai qualche esercizio ma rimarrai sempre con dubbi.
E per prima la definizione di potenza da cui poi discende abbastanza naturalmente quella di radice.
IMHO
Cordialmente, Alex
Fossi in te, ripartirei dalle definizioni in modo da assimilarle per bene altrimenti risolverai qualche esercizio ma rimarrai sempre con dubbi.
E per prima la definizione di potenza da cui poi discende abbastanza naturalmente quella di radice.
IMHO
Cordialmente, Alex
vedo che tgrammer è in linea
vuoi provare a trovare le radici cubiche di $-i$?
vuoi provare a trovare le radici cubiche di $-i$?
ci provo: $ e^(-iπ/6),e^(iπ/2),e^(i7/6π) $ ?
mi torna
se scrivo
$i$; $-1/2i+sqrt3/2$; $-1/2i - sqrt3/2$
va bene lo stesso?
se scrivo
$i$; $-1/2i+sqrt3/2$; $-1/2i - sqrt3/2$
va bene lo stesso?
finiamo con le radici cubiche di +1 e +i?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo