Raccogliere eq. biquadratica

[baudus]

Qualcuno mi spiega come mai l'equazione complessa z^4 -3(1+2i)z^2 + 2(-4+3i) si può raccogliere come (z^2 - 2i) (z^2 -(3+4i))?

[Sk_Anonymous]

Per non scervellarsi troppo a "raccogliere", penso che convenga considerare l'espressione come un trinomio di 2* rispetto
a $ z^2$. Si trovano quindi le radici del trinomio risolvendo l'equazione :
$z^4-3(1+2i)z^2+(-8+6i)=0$
da cui :
$z_{1,2}^2=\frac{3(1+2i)\pm\sqrt{5+12i}}{2}$
Ma :
$5+12i=(3+2i)^2$ e quindi le due radici sono:
$z_1^2=\frac{3+6i-3-2i}{2}=2i$
$z_2^2=\frac{3+6i+3+2i}{2}=3+4i$
Pertanto, applicando la formula di scomposizione del trinomio di 2°, hai appunto:
$z^4-3(1+2i)z^2+(-8+6i)=(z^2-2i)\cdot(z^2-(3+4i))$

[baudus]

Grazie mille per la risposta!
Ti chiederei solo due precisazioni:

- al secondo passaggio per trovare 5+12i sotto radice hai fatto tutti i calcoli b^2 - 4ac vero?
- per capire che 5+12i = (3+2i)^2 hai fatto tutti i calcoli trasformando in forma polare o esiste un modo più immediato?

[Sk_Anonymous]

$b^2-4ac=[3(1+2i)]^2]-4\cdot(1)\cdot(-8+6i)=$
$=9(1-4+4i)+32-24i=$
$=9-36+36i+32-24i=$
$=9-4+12i=(3)^2+(2i)^2+2\cdot(3)\cdot(2i)=$
$=(3+2i)^2$

[baudus]

Grazie mille!!