R ⊂ R^2 ?

[tecya]

So che R non è un sottospazio vettoriale di R^2, in quanto aventi diversa dimensione.
Sarei portato a dire di si, per esempio fissando y=0, ma mi chiedo se è lecito poter mettere condizioni, in qual caso la risposta dovrebbe essere no.

[Antimius]

$\mathbb{R}^2$ non contiene $\mathbb{R}$ perché sono spazi diversi e basta. Nel primo hai due coordinate, nel secondo hai una coordinata soltanto, quindi non puoi confrontarli. Ciononostante, come hai intuito, puoi identificare $\mathbb{R}$ con l'asse $x$, ad esempio (o una qualunque retta, più in generale), tramite l'identificazione $x \mapsto (x,0)$. Quindi hai un'inclusione \(\displaystyle \mathbb{R} \hookrightarrow \mathbb{R}^2 \).
Che significa questo? Che puoi considerare $\mathbb{R}$ come un sottospazio di $\mathbb{R}^2$, a patto di intendere $(x,0)$ con $x$.
Ovviamente puoi utilizzare anche altri identificazioni, ma questa è la più usata perché inutitivamente lo spazio $\mathbb{R}^2$ si ottiene "aggiungendo una coordinata" a $\mathbb{R}$.

[tecya]

Grazie mille!

[dan952]

Se $RR \sub RR^2$ allora dotando $RR^2=RR \times RR$ di una struttura (spazio topologico, vettoriale, ecc...) $RR$ avrebbe la stessa struttura indotta, ma questo non è vero. Infatti se considerassimo $RR^2$ con la topologia prodotto, questa non può essere indotta su $RR$ in quanto non può possedere una tale topologia (gli aperti sono definiti diversamente).