"vedere" la differenziabilità
Mi rendo conto che cercare di "concretizzare" questioni matematiche è molto discutibile, ma quando è possibile sicuramente aiuta molto
ecco il mio dubbio:
1)E' corretto pensare ad una funzione da R2 in R differenziabile in un punto come ad una superficie immersa in R3 che ammette piano tangente in quel punto?. in altre parole le due affermazioni sono equivalenti? so che vale l'implicazione diretta ma non sono sicuro su quella inversa.
altra cosa in qualche modo simile:
2)una funzione derivabile in tutte le direzioni e continua è anche differenziabile? (tutto riferito ad uno stesso punto del dominio)
ecco il mio dubbio:
1)E' corretto pensare ad una funzione da R2 in R differenziabile in un punto come ad una superficie immersa in R3 che ammette piano tangente in quel punto?. in altre parole le due affermazioni sono equivalenti? so che vale l'implicazione diretta ma non sono sicuro su quella inversa.
altra cosa in qualche modo simile:
2)una funzione derivabile in tutte le direzioni e continua è anche differenziabile? (tutto riferito ad uno stesso punto del dominio)
Risposte
Ci sono errori concettuali.
l'inversa sarebbe: è giusto pensare ad una superficie regolare in R3 come ad una funzione scalare differnziabile,
non confondere le definizioni con i risultati!
l'inversa sarebbe: è giusto pensare ad una superficie regolare in R3 come ad una funzione scalare differnziabile,
non confondere le definizioni con i risultati!
"holmes":
Ci sono errori concettuali.
l'inversa sarebbe: è giusto pensare ad una superficie regolare in R3 come ad una funzione scalare differnziabile,
non confondere le definizioni con i risultati!
con la prima domanda intendo:
E' vero che "f è una funzione da R2 in R differenziabile in un punto" $iff$ "f è rappresentabile come una superficie immersa in R3 che ammette piano tangente in quel punto" ? So che vale la $=>$ ma non sono sicuro della $\Leftarrow$
non capisco però la tua obiezione holmes
... in fondo che differenza c'è tra risultati e definizioni? Potrai dire "una me la invento e l'altra la deduco" ma posso inventarmi 2 definizioni e magari scoprire che una implica l'altra così ho ottenuto anche un risultato, cioè una definizione che è anche un risultato. Come in questo caso: definisco la differenziabilità, separatamente definisco la tangenza piano-superficie poi mi accorgo che le definizioni sono legate.
Intanto penso che quello che mi dici sia in gran parte molto corretto, è che in alcuni casi però si possono creare degli errori.
Vedere la differenziabilità è una cosa che puo dare l'idea con l'ausilio grafico di cosa puo voler dire, si questo sicuramente puo essere.
Pero ora ti dico, abbassiamo il problema dii dimensione:
una funzione reale di variabile reale differenziabile è una curva in R2 che ammette retta tangente,
sen(1/x)x^2=y mi pare che è un famoso esempio di funzione differenziabile in 0 con derivata non definibile,prova a vederci una curvacon retta tangente o ancora peggio,
F(x)={x^2 se x è razionale; 0 se x è in R\Q}...prova a studiare questa funzione in x=0.....
Saluti.
Vedere la differenziabilità è una cosa che puo dare l'idea con l'ausilio grafico di cosa puo voler dire, si questo sicuramente puo essere.
Pero ora ti dico, abbassiamo il problema dii dimensione:
una funzione reale di variabile reale differenziabile è una curva in R2 che ammette retta tangente,
sen(1/x)x^2=y mi pare che è un famoso esempio di funzione differenziabile in 0 con derivata non definibile,prova a vederci una curvacon retta tangente o ancora peggio,
F(x)={x^2 se x è razionale; 0 se x è in R\Q}...prova a studiare questa funzione in x=0.....
Saluti.
Rispondo alla domanda 2) di ralf86: no, esistono funzioni derivabili in un punto lungo tutte le direzioni e anche continue ma non differenziabili. Il fatto è che se le derivate non sono continue, poco ti dicono sulla differenziabilità.
Esempio:
$f(x, y)={(x^3/(x^2+y^2), (x, y)!=(0,0)), (0, (x, y)=(0,0)):}$.
Esempio:
$f(x, y)={(x^3/(x^2+y^2), (x, y)!=(0,0)), (0, (x, y)=(0,0)):}$.
"holmes":
Intanto penso che quello che mi dici sia in gran parte molto corretto, è che in alcuni casi però si possono creare degli errori.
Vedere la differenziabilità è una cosa che puo dare l'idea con l'ausilio grafico di cosa puo voler dire, si questo sicuramente puo essere.
Pero ora ti dico, abbassiamo il problema dii dimensione:
una funzione reale di variabile reale differenziabile è una curva in R2 che ammette retta tangente,
sen(1/x)x^2=y mi pare che è un famoso esempio di funzione differenziabile in 0 con derivata non definibile,prova a vederci una curvacon retta tangente o ancora peggio,
F(x)={x^2 se x è razionale; 0 se x è in R\Q}...prova a studiare questa funzione in x=0.....
Saluti.
$sen(1/x)x^2=y$ non è neppure definita in 0, quindi non è continua e neppure differenziabile in quel punto. Ma si potrebbe cmq assegnare valore nullo nell'origine.... Sì, in effetti si tratta di funzioni un po strane, "definite a pezzi" (con qusto intendo le funzioni definite in questo modo: "per un certo insieme di x vale questo, per altre x vale qualcos'altro") che disubbidiscono all'intuizione. Se ci limitiamo alle funzioni elementari (=seni coseni esponenziali logaritmi potenze e loro composizioni) definite in un solo pezzo la cosa funziona?
Cioè bisogna per forza ricorrere a funzioni strane per falsificare la 1)?
idem per dissonance
Per esempio la superficie X^2+y^2+Z^2 = 1 è una superficie che ammette piano tangente in ogni suo punto ma npn può essere vista come una funzione da R2 in R. La stria potrebbe funzionare per superfici che ammettano una parametrizzazione del tipo (x,y,f(x,y)) mi pare si chiami parametrizzazione di Moungeo simile.
Saluti.
Saluti.
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