"urang-utang" nell'integrazione per sostituzione
Ciao a tutti, la settimana scorsa stavo leggendo l'articolo di Fioravante Patrone (veramente ben fatto) sul metodo sopracitato e mi è subito saltato in mente l'utilizzo che ne faccio io nella dimostrazione dell'integrazione definita per sostituzione di una funzione reale di variabile reale:
..scrivo la dimostrazione come la ricordo:
Sia $f:I->RR$ continua e di variabile reale,sia $phi:J->RR$ di classe $C1$, siano $u,v in J$, sia $phi(J)sub(I)$ allora se vogliamo calcolare:
$int f(x)dx$ possiamo calcolare $f$ invece che in $x$ in $phi(t)$, e quindi poniamo $x=phi(t)$ allora si ha che $x'=phi'(t)$ e urang-utang $dx/dt=phi'(t)$ ovvero $dx = phi'(t)dt$ e lo sostituiamo nell'integrale.
$int f(x)dx = int f(phi(t))phi'(t)dt$ e quindi $int_(phi(u))^(phi(v)) f(x)dx = int_u^v f(phi(t))phi'(t)dt$.
Qualcuno conosce un modo per non utilizzare nella dimostrazione l'urang utang??
Grazie in anticipo
..scrivo la dimostrazione come la ricordo:
Sia $f:I->RR$ continua e di variabile reale,sia $phi:J->RR$ di classe $C1$, siano $u,v in J$, sia $phi(J)sub(I)$ allora se vogliamo calcolare:
$int f(x)dx$ possiamo calcolare $f$ invece che in $x$ in $phi(t)$, e quindi poniamo $x=phi(t)$ allora si ha che $x'=phi'(t)$ e urang-utang $dx/dt=phi'(t)$ ovvero $dx = phi'(t)dt$ e lo sostituiamo nell'integrale.
$int f(x)dx = int f(phi(t))phi'(t)dt$ e quindi $int_(phi(u))^(phi(v)) f(x)dx = int_u^v f(phi(t))phi'(t)dt$.
Qualcuno conosce un modo per non utilizzare nella dimostrazione l'urang utang??
Grazie in anticipo
Risposte
E' una domanda che non avresti voluto fare! 
Stai parlando del teorema di integrazione per sostituzione, del quale trovi dimostrazioni ovunque. Dimostrazioni che di solito sono dimostrazioni, non pasticci con le scimmie.
Dai, prendi in mano un libro di analisi e torna imparato
Stai parlando del teorema di integrazione per sostituzione, del quale trovi dimostrazioni ovunque. Dimostrazioni che di solito sono dimostrazioni, non pasticci con le scimmie.
Dai, prendi in mano un libro di analisi e torna imparato
Purtroppo nel mio libro di analisi I la dimostrazione è solo accennata e lasciata dimostrare al lettore.
Avevo guardato su wikipedia ma fanno la stessa cosa inoltre sottolineando:
Mi verrebbe da dimostrarlo così:
// stesse ipotesi di prima e in più : sia $F$ primitiva di $f$;
$int_(phi(a))^(phi(b))f(x)dx=F(phi(b))-F(phi(a))$
dalla regola della "catena" $int_a^bg(gamma(x))*gamma'(x)dx=G(gamma(b))-G(gamma(a))$
quindi sopra $F(phi(b))-F(phi(a))=int_a^bf(phi(t))*phi'(t)dt$
e perciò $int_(phi(a))^(phi(b))f(x)dx=int_a^bf(phi(t))*phi'(t)dt$
Che dici, può andare bene?
Avevo guardato su wikipedia ma fanno la stessa cosa inoltre sottolineando:
In effetti la regola di sostituzione può considerarsi come un ottimo sostegno della bontà del formalismo di Leibniz per gli integrali e le derivate..
Mi verrebbe da dimostrarlo così:
// stesse ipotesi di prima e in più : sia $F$ primitiva di $f$;
$int_(phi(a))^(phi(b))f(x)dx=F(phi(b))-F(phi(a))$
dalla regola della "catena" $int_a^bg(gamma(x))*gamma'(x)dx=G(gamma(b))-G(gamma(a))$
quindi sopra $F(phi(b))-F(phi(a))=int_a^bf(phi(t))*phi'(t)dt$
e perciò $int_(phi(a))^(phi(b))f(x)dx=int_a^bf(phi(t))*phi'(t)dt$
Che dici, può andare bene?
Guarda, proprio oggi yellow ha scritto un post dettagliato sulla integrazione per sostituzione:
post636269.html#p636269
Comunque, al di là delle ipotesi precise da usare, la regola di integrazione per sostituzione è conseguenza della regola di derivazione delle funzioni composte, se stiamo considerando integrali indefiniti. Nel caso dell'integrale definito, semplicemente si ricorre al risultato valido per gli integrali indefiniti, usando il teorema fondamentale del calcolo integrale.
Nello specifico, nella tua dimostrazione, mancano le ipotesi da fare sulle funzioni che fai intervenire. Inoltre qui:
avrei detto che, per la "regola della catena", la funzione composta $t \mapsto G(gamma(t))$ è una primitiva di $g(gamma(t)) * gamma'(t)$, se $G$ è una primitiva di $g$. Da qui quello che hai scritto tu.
post636269.html#p636269
Comunque, al di là delle ipotesi precise da usare, la regola di integrazione per sostituzione è conseguenza della regola di derivazione delle funzioni composte, se stiamo considerando integrali indefiniti. Nel caso dell'integrale definito, semplicemente si ricorre al risultato valido per gli integrali indefiniti, usando il teorema fondamentale del calcolo integrale.
Nello specifico, nella tua dimostrazione, mancano le ipotesi da fare sulle funzioni che fai intervenire. Inoltre qui:
"lordb":
dalla regola della "catena" $int_a^bg(gamma(x))*gamma'(x)dx=G(gamma(b))-G(gamma(a))$
avrei detto che, per la "regola della catena", la funzione composta $t \mapsto G(gamma(t))$ è una primitiva di $g(gamma(t)) * gamma'(t)$, se $G$ è una primitiva di $g$. Da qui quello che hai scritto tu.
Ok perfetto, grazie mille!
[L'ho scritto mentre mettevate gli ultimi due messaggi, aggiungo lo stesso!]
Certo, è tutto lì. Con le giuste ipotesi di integrabilità e di esistenza delle primitive (se $f$, $g$ e $g'$ sono continue funziona tutto bene).
A proposito, ho notato ora che Wikipedia italiana bara clamorosamente nella dimostrazione della "seconda parte" del teorema fondamentale del calcolo integrale.
Certo, è tutto lì. Con le giuste ipotesi di integrabilità e di esistenza delle primitive (se $f$, $g$ e $g'$ sono continue funziona tutto bene).
A proposito, ho notato ora che Wikipedia italiana bara clamorosamente nella dimostrazione della "seconda parte" del teorema fondamentale del calcolo integrale.
Riprendendo vari concetti di Analisi 1 finalmente credo di aver compreso lo spirito dell'integrazione per sostituzione.
Per farla breve (senza pretesa di completezza) il teorema di integrazione per sostituzione ci assicura che l'integrale di una funzione $f(x)$ è uguale all'integrale di una funzione composta $f( a (t)) a' (t)$ (con $a(t)$ che deve soddisfare certe condizioni) spesso più facile da calcolare rispetto all'integrale di $f(x)$: in simboli, $int f(x) dx = int f( a (t)) a' (t)dt$. Una volta che è stata scelta la funzione $a(t)$ che soddisfa le condizioni richieste dal teorema, un TRUCCHETTO semplice e facile da ricordare che permette di passare dalla prima funzione integranda alla seconda funzione integranda consiste nel porre $x=a(t)$ e $dx=a'(t)dt$ all'interno di $int f(x)dx$, anche se come è stato giustamente detto si tratta solo di un trucco "mnemonico".
Sono felice per aver chiarito con me stesso questa cosa, un dubbio in meno
Per farla breve (senza pretesa di completezza) il teorema di integrazione per sostituzione ci assicura che l'integrale di una funzione $f(x)$ è uguale all'integrale di una funzione composta $f( a (t)) a' (t)$ (con $a(t)$ che deve soddisfare certe condizioni) spesso più facile da calcolare rispetto all'integrale di $f(x)$: in simboli, $int f(x) dx = int f( a (t)) a' (t)dt$. Una volta che è stata scelta la funzione $a(t)$ che soddisfa le condizioni richieste dal teorema, un TRUCCHETTO semplice e facile da ricordare che permette di passare dalla prima funzione integranda alla seconda funzione integranda consiste nel porre $x=a(t)$ e $dx=a'(t)dt$ all'interno di $int f(x)dx$, anche se come è stato giustamente detto si tratta solo di un trucco "mnemonico".
Sono felice per aver chiarito con me stesso questa cosa, un dubbio in meno
Peccato però che non sia vero quello che hai scritto, e inoltre parli solo di integrali indefiniti che non sono nemmeno veri integrali (e forse è proprio questo che ti frega). Comunque per cominciare vanno bene, ma ti consiglio di partire dalla formula della derivata di una funzione composta e rifarti i passaggi da solo visto che il tutto è quasi tautologico, troverai che c'è qualcosa che non va nell'identità che hai scritto.
yellow per piacere mi potresti dire dove stia il tranello, io ho guardato la dimostrazione e non l'ho notato, anche se non capisco il motivo all'ultimo passaggio dell'introduzione del termine $int_a^a F'(t)dt$ che è nullo...
Adesso ho poco tempo e non mi va di scrivere di fretta perché è un po' una sottigliezza e rischierei di essere poco chiaro. Comunque basta crearsi un esempio semplicissimo per notare che quella formula è sbagliata (sto parlando dell'uguaglianza di lisdap), in qualsiasi modo si considerino quelle due funzioni (per cominciare andrebbe chiarito il signifato dell'espressione $\intf(x)dx$; è il valore di una primitiva di $f$ al punto $x$? è la primitiva stessa? nel primo caso c'è prima di tutto un problema di variabili differenti, nel secondo l'uguaglianza è comunque falsa).
Ah, io stavo parlando della dimostrazione di Wikipedia; comunque $int f(x)dx$ per quello che ne so io non è ne il valore di una primitiva di $f$ al punto $x$ nè la primitiva stessa ma rappresenta l'insieme di tutte le primitive di $f$ al variariare di una costante arbitraria.
Ah scusami non avevo capito. Comunque anche questa definizione non mi ha mai convinto perché è operativamente scomodissima.
Nella dimostrazione Wikipedia utilizza "il teorema precedente" senza che le ipotesi ne siano rispettate, sta praticamente usando il teorema stesso che vuole dimostrare. Ovvio che poi diventi una banalità.
Nella dimostrazione Wikipedia utilizza "il teorema precedente" senza che le ipotesi ne siano rispettate, sta praticamente usando il teorema stesso che vuole dimostrare. Ovvio che poi diventi una banalità.
Per quanto riguarda la risoluzione senza usare metodi scimmieschi, a titolo d'esempio segnalo questo mio post di qualche tempo fa.
Ok perfetto, grazie a tutti!
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