"Tipi" di continuità
Domani ho il primo orale di analisi e sto un pò impazzendo dietro le varie definizioni che cambiano da autore e autore.
Vorrei risolvere un dubbio riguardo la differenza tra Funzione Lipschitziana e funzione uniformemente continua.
Personalmente sono arrivato a una conclusione (credo) ma vorrei verificare se ho capito bene.
Potete dirmi se sono dunque corrette le seguenti inplicazioni, che ho estrapolato dopo varie considerazioni?
Sia f funzione continua.
f uniformemente continua <=> f è limitata
f lipschtiziana <=> la derivata di f è limitata
grazie.
Vorrei risolvere un dubbio riguardo la differenza tra Funzione Lipschitziana e funzione uniformemente continua.
Personalmente sono arrivato a una conclusione (credo) ma vorrei verificare se ho capito bene.
Potete dirmi se sono dunque corrette le seguenti inplicazioni, che ho estrapolato dopo varie considerazioni?
Sia f funzione continua.
f uniformemente continua <=> f è limitata
f lipschtiziana <=> la derivata di f è limitata
grazie.
Risposte
Non sono d'accordo con nessuna delle tue caratterizzazioni.
1. $f(x) = x$, $x\in RR$, è uniformemente continua ma non è limitata; per vedere che anche l'altra implicazione è sbagliata, prendi qualsiasi funzione limitata ma non continua (e quindi non uniformemente continua).
2. $f(x) = |x|$ è Lipschitziana ma non è derivabile nell'origine.
Quello che è vero è:
a) se $f$ è uniformemente continua su un insieme limitato, allora è limitata;
b) se $f$ è derivabile su un intervallo e la sua derivata è limitata, allora $f$ è Lipschitziana.
1. $f(x) = x$, $x\in RR$, è uniformemente continua ma non è limitata; per vedere che anche l'altra implicazione è sbagliata, prendi qualsiasi funzione limitata ma non continua (e quindi non uniformemente continua).
2. $f(x) = |x|$ è Lipschitziana ma non è derivabile nell'origine.
Quello che è vero è:
a) se $f$ è uniformemente continua su un insieme limitato, allora è limitata;
b) se $f$ è derivabile su un intervallo e la sua derivata è limitata, allora $f$ è Lipschitziana.
avevo precisato "sia f continua", quindi della prima proposizione un implicazione si salva.. no?
Scusa, mi perdo sempre parti dei messaggi.
Comunque non si salva nemmeno l'altra implicazione.
Prendi una funzione come $f(x) =\sin\frac{1}{x}$, $x\in (0,1]$.
Questa funzione è continua, limitata, ma non uniformemente continua.
Comunque non si salva nemmeno l'altra implicazione.
Prendi una funzione come $f(x) =\sin\frac{1}{x}$, $x\in (0,1]$.
Questa funzione è continua, limitata, ma non uniformemente continua.
ok, ma allora adesso vorrei sapere una cosa perchè mi sta venendo il dubbio che il mio libro contenga un errore.
$ f(x) = sqrt(x) $
Ora, questa, considerata nell intervallo $[0, oo )$ è o non è uniformemente continua?
$ f(x) = sqrt(x) $
Ora, questa, considerata nell intervallo $[0, oo )$ è o non è uniformemente continua?
E' uniformemente continua (pur non essendo Lipschitziana).
ma come fa a esser uniformemente continua se a x che tende a zero la pendenza tende a infinito????
Rispondo io perché sembra che Rigel non ci sia, poi eventualmente lui mi smentirà.
Il fatto che "la pendenza tende ad infinito" ti dice che la funzione non è Lipschitziana, non che non è uniformemente continua. Ricordati del teorema di Cantor: una funzione continua definita su un intervallo chiuso e limitato è uniformemente continua.
Se hai tempo consulta http://www.batmath.it/matematica/an_uno ... t_unif.htm che spiega benissimo questo argomento.
Il fatto che "la pendenza tende ad infinito" ti dice che la funzione non è Lipschitziana, non che non è uniformemente continua. Ricordati del teorema di Cantor: una funzione continua definita su un intervallo chiuso e limitato è uniformemente continua.
Se hai tempo consulta http://www.batmath.it/matematica/an_uno ... t_unif.htm che spiega benissimo questo argomento.
perfetto! anch io stavo guardando lì!
e infatti la cosa che non riesco a capire è come possa esistere il "tubicino" in prossimità dello zero nella funzione radice!!
è proprio quella pagina che mi ha messo questo dubbio!
EDIT: e comunque la funzione radice non mi pare sia limitata..
e infatti la cosa che non riesco a capire è come possa esistere il "tubicino" in prossimità dello zero nella funzione radice!!
è proprio quella pagina che mi ha messo questo dubbio!
EDIT: e comunque la funzione radice non mi pare sia limitata..
Vedo che ti hanno già risposto.
Comunque, in generale, se hai $f:I\to RR$ (con $I$ intervallo limitato o illimitato):
$f$ derivabile con derivata limitata => $f$ Lipschitziana
$f$ Lipschitziana => $f$ uniformemente continua
La radice quadrata, su $[0,+\infty)$, non è limitata, non è Lipschitziana, ma è uniformemente continua (come ti ha già detto dissonance).
L'uniforme continuità ti garantisce la limitatezza solo quando consideri funzioni su un intervallo limitato.
Comunque, in generale, se hai $f:I\to RR$ (con $I$ intervallo limitato o illimitato):
$f$ derivabile con derivata limitata => $f$ Lipschitziana
$f$ Lipschitziana => $f$ uniformemente continua
La radice quadrata, su $[0,+\infty)$, non è limitata, non è Lipschitziana, ma è uniformemente continua (come ti ha già detto dissonance).
L'uniforme continuità ti garantisce la limitatezza solo quando consideri funzioni su un intervallo limitato.
si ok ma non capisco come fa a esistere il tubicino nella radice, visto che si utilizza quell esempio intuitivo..
Be', per convincertene lo puoi dimostrare (e mi sembra che proprio sul sito segnalato dal grande dissonance si facesse in un modo simile).
Diamo per buona l'uniforme continuità su $[0,1]$ per Heine Cantor.
Dimostriamola su $[1,+oo)$.
Fissato un $epsilon>0$,
$|sqrtx-sqrty|=|(x-y)/(sqrtx+sqrty)|<|x-y|
)
Quindi, $delta_epsilon=epsilon$, il che prova che la tua $sqrtx$ è uniformemente continua su $[1,+oo)$.
Dall'unione dei due intervalli, hai la tesi.
Diamo per buona l'uniforme continuità su $[0,1]$ per Heine Cantor.
Dimostriamola su $[1,+oo)$.
Fissato un $epsilon>0$,
$|sqrtx-sqrty|=|(x-y)/(sqrtx+sqrty)|<|x-y|
) Quindi, $delta_epsilon=epsilon$, il che prova che la tua $sqrtx$ è uniformemente continua su $[1,+oo)$.
Dall'unione dei due intervalli, hai la tesi.
Vediamo se riesco a rispondere a questa questione del "tubicino".
Tu fissi il raggio $\epsilon>0$ del tubicino.
Poi lo piazzi nell'origine (o meglio, col bordo sinistro sull'origine).
Per quanto la radice esca a tangente verticale dall'origine, essendo continua riesci a trovare una lunghezza $\delta>0$ del tubicino in modo che il grafico (per $x\in [0,\delta]$) stia dentro al tubicino stesso.
Poi ti accorgi che questo pezzettino che hai appena ritagliato ti va bene anche per tutto il resto del grafico.
Tu fissi il raggio $\epsilon>0$ del tubicino.
Poi lo piazzi nell'origine (o meglio, col bordo sinistro sull'origine).
Per quanto la radice esca a tangente verticale dall'origine, essendo continua riesci a trovare una lunghezza $\delta>0$ del tubicino in modo che il grafico (per $x\in [0,\delta]$) stia dentro al tubicino stesso.
Poi ti accorgi che questo pezzettino che hai appena ritagliato ti va bene anche per tutto il resto del grafico.
e come si fa a vedere se la derivata di una funzione è limitata? inoltre non riesco a comprendere la differenza tra continuità e continuità uniforme.. sul mio libro dice che la continuità è una forma d continuità GLOBALE della funzione mentre quella uniforme è GLOBALE che significa? ho letto su wikipedia che in sostanza la condizione di uniforme continuità sta nel fatto che la funzione $f(x)->I(x_0)$ per essere tale, al variare di x nell'intorno deve variare anche la sua immagine, e questo è ovvio tutavia non capisco bene la differenza.
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