"Rapidità" delle funzioni nel tendere ad infinito

[steppox]

Ciao ragazzi e buon weekend
Nello studio di funzione di:
$log _(2/3)(x^2+x+5)$
per quanto riguarda il calcolo degli asintoti, più precisamente per quello obliquo, mi trovo a dover calcolare:
$\lim_{x\to-\infty}log _(2/3)(x^2+x+5)/x$
Eliminando gli infiniti di ordine inferiore al numeratore, la riscrivo come:
$\lim_{x\to-\infty}log _(2/3)x^2/x$
cioè:
$\lim_{x\to-\infty}(2\cdotlog _(2/3)x)/x$
Al numeratore, poichè la base del log è <1 allora $log _(2/3)x$ tende a $+\infty$
Il denominatore,invece, tende a $-\infty$
A questo punto, dovrei sapere quale tende più "rapidamente" per poter determinare il risultato. Così, ad istinto, direi che il log è meno rapido e dunque il risultato del lim sarebbe $0$.
Tuttavia, ahimè, la matematica non è istinto, quindi vorrei sapere se esiste un metodo per determinare la "rapidità" delle funzioni nel tendere ad infinito, oppure se si tratta di nozioni teoriche che occorre imparare.
Sicuro come sempre delle vostre risposte, ringrazio tutti anticipatamente

[Berationalgetreal]

\[ \log_{\frac{2}{3}} (a) = \frac{ \ln (a)}{\ln \frac{2}{3}} \]

Poniamo $ t = -x, \ t \to + \infty $:

\[- \frac{1}{\ln \frac{2}{3}} \cdot \lim_{t \to + \infty} {\frac{ \ln (t^2 - t + 5)}{t}} = - \frac{1}{\ln \frac{2}{3}} \cdot \lim_{t \to + \infty} {\frac{ \ln \left (t^2 \left ( 1 - \frac{1}{t} + \frac{5}{t^2} \right) \right )}{t}}= \]
\[ = - \frac{1}{\ln \frac{2}{3}} \cdot \left (\lim_{t \to + \infty} {\frac{ \ln (t^2)}{t}} + \lim_{t \to + \infty} {\frac{\ln \left (1 - \frac{1}{t} + \frac{5}{t^2} \right )}{t}} \right ) = - \frac{1}{\ln \frac{2}{3}} \cdot (0 + 0) = 0 \]

Per affermare che

\[ \lim_{t \to + \infty} {\frac{ \ln t^2}{t}} = 0\]

non ci vuole l'istinto. E' un limite notevole. Se ti interessa la dimostrazione, la metto in spoiler:

Per dimostrare il suddetto limite ci basta dimostrarne uno più generale:

\[ \lim_{n \to + \infty} {\frac{n^{\alpha}}{e^n}} = 0, \ \forall \alpha > 0 \]

Dimostrazione:

\[ 0 \leq \frac{n^{\alpha}}{e^n} = \left ( \frac{\sqrt{n}}{e^{\frac{n}{2 \alpha}}} \right )^{2 \alpha} \]

Utilizzando la disuguaglianza di Bernoulli, risulta che:

\[ \frac{ \sqrt{n}}{(1 + (e^{\frac{1}{2 \alpha}} - 1))^n} \leq \frac{ \sqrt{n}}{1 + n(e^{\frac{1}{2 \alpha}} - 1)} \to 0, \ n \to + \infty \]

Quindi, per il teorema dei carabinieri,

\[ 0 \leq \lim_{n \to + \infty} {\frac{n^{\alpha}}{e^n}} \leq 0 \implies \lim_{n \to + \infty} {\frac{n^{\alpha}}{e^n}} = 0 \ QED \]

Se adesso facciamo la sostituzione $ \ln u = n, \ u \to + \infty$, otteniamo che

\[ \lim_{u \to + \infty} {\frac{\ln^{\alpha} (u)}{u}} = 0 \]

Chiaramente, per le proprietà dei logaritmi, varrà anche che

\[ \lim_{u \to + \infty} {\frac{\ln (u)^{\beta}}{u}} = \lim_{u \to + \infty} {\frac{ \beta \cdot \ln (u)}{u}} = 0, \ \beta \in \mathbb{R} \]