"Quasi" gradiente
Chiedo scusa se il titolo della discussione è ambiguo, ma il motivo sta nel fatto che si tratta di un argomento seguito a lezione di cui non ho trovato nessun riferimento in rete.
Chiedo a voi qualche delucidazione in merito, o anche solo qualche link con dei riferimenti.
Dopo aver definito i limiti parziali superiori e inferiori di funzioni di \(\displaystyle n \) variabili reali, a valori reali, il prof ci ha proposto le seguenti definizioni:
\(\displaystyle D^+f(x)=\left \{ p \in \mathbb{R}^n | \overline{\lim}_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)-p\circ (x-x_0)}{\left \| x-x_0 \right \|}\leq 0\right \} \)
\(\displaystyle D^-f(x)=\left \{ p \in \mathbb{R}^n | \underline{\lim}_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)-p\circ (x-x_0)}{\left \| x-x_0 \right \|}\geq 0\right \} \).
Prendendo la prima e caratterizzandola per il caso unidimensionale \(\displaystyle f:\mathcal{A}\subset\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) si ha:
\(\displaystyle D^+f(x)=\left \{ p \in \mathbb{R} | \overline{\lim}_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)-p\cdot (x-x_0)}{| x-x_0 |}\leq 0\right \} \).
A questo ha voluto vedere nello specifico cosa accade dividendo i casi \(\displaystyle x < 0 \) e \(\displaystyle x > 0 \).
Prendendo il primo caso:
\(\displaystyle D^+f(x)=\left \{ p \in \mathbb{R} | -\overline{\lim}_{x \to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{ x-x_0 }+p\leq 0\right \} \)
qui succede una cosa che non capisco, ovvero ci ha detto che:
\(\displaystyle -\overline{\lim}_{x \to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{ x-x_0 }=\underline{\lim}_{x \to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{ x-x_0 } \)
Non ne vedo il motivo, qualcuno sa il perché?
Comunque, l'obiettivo che si vuole raggiungere è arrivare a dire che:
\(\displaystyle D^+f(x)=\left \{ p \in \mathbb{R} | \overline{\lim}_{x \to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{ x-x_0 } \leq p \leq \underline{\lim}_{x \to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{ x-x_0 } \right \} \).
Chiedo aiuto e ringrazio in anticipo.
Chiedo a voi qualche delucidazione in merito, o anche solo qualche link con dei riferimenti.
Dopo aver definito i limiti parziali superiori e inferiori di funzioni di \(\displaystyle n \) variabili reali, a valori reali, il prof ci ha proposto le seguenti definizioni:
\(\displaystyle D^+f(x)=\left \{ p \in \mathbb{R}^n | \overline{\lim}_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)-p\circ (x-x_0)}{\left \| x-x_0 \right \|}\leq 0\right \} \)
\(\displaystyle D^-f(x)=\left \{ p \in \mathbb{R}^n | \underline{\lim}_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)-p\circ (x-x_0)}{\left \| x-x_0 \right \|}\geq 0\right \} \).
Prendendo la prima e caratterizzandola per il caso unidimensionale \(\displaystyle f:\mathcal{A}\subset\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) si ha:
\(\displaystyle D^+f(x)=\left \{ p \in \mathbb{R} | \overline{\lim}_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)-p\cdot (x-x_0)}{| x-x_0 |}\leq 0\right \} \).
A questo ha voluto vedere nello specifico cosa accade dividendo i casi \(\displaystyle x < 0 \) e \(\displaystyle x > 0 \).
Prendendo il primo caso:
\(\displaystyle D^+f(x)=\left \{ p \in \mathbb{R} | -\overline{\lim}_{x \to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{ x-x_0 }+p\leq 0\right \} \)
qui succede una cosa che non capisco, ovvero ci ha detto che:
\(\displaystyle -\overline{\lim}_{x \to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{ x-x_0 }=\underline{\lim}_{x \to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{ x-x_0 } \)
Non ne vedo il motivo, qualcuno sa il perché?
Comunque, l'obiettivo che si vuole raggiungere è arrivare a dire che:
\(\displaystyle D^+f(x)=\left \{ p \in \mathbb{R} | \overline{\lim}_{x \to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{ x-x_0 } \leq p \leq \underline{\lim}_{x \to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{ x-x_0 } \right \} \).
Chiedo aiuto e ringrazio in anticipo.
Risposte
Ciao, i tuoi $D^+$, $D^-$ mi ricordano un po' i numeri di Dini ma non ci ho riflettuto molto.
Volevi dire $xx_0$?
Cioè il tuo dubbio è perché
\( \displaystyle -\overline{\lim_{x \to x_0^-}}g(x) = \underline{\lim}_{x \to x_0^-} g(x) \)
?
"Ianero":
A questo ha voluto vedere nello specifico cosa accade dividendo i casi x<0 e x>0.
Volevi dire $x
"Ianero":
\( \displaystyle -\overline{\lim}_{x \to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{ x-x_0 }=\underline{\lim}_{x \to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{ x-x_0 } \)
Cioè il tuo dubbio è perché
\( \displaystyle -\overline{\lim_{x \to x_0^-}}g(x) = \underline{\lim}_{x \to x_0^-} g(x) \)
?
Si a entrambe le domande.
Scusa per l'imprecisione. Credo ce ne sia anche un'altra, e cioè la notazione, che dovrebbe essere \(\displaystyle D^+f(x_0) \) e non \(\displaystyle D^+f(x) \).
Quell'uguaglianza significa in sostanza che:
\(\displaystyle -\overline{\lim}_{x \to x_0}g(x)=-\lim_{\delta \to 0}\sup\left \{ g(x) \in \mathbb{R}| x \neq x_0, |x-x_0|<\delta \right \} \)
è uguale a:
\(\displaystyle \underline{\lim}_{x \to x_0}g(x)=\lim_{\delta \to 0}\inf\left \{ g(x) \in \mathbb{R}| x \neq x_0, |x-x_0|<\delta \right \} \)
e non ne vedo il senso perché in generale si ha che tra questi due numeri reali vale la disuguaglianza:
\(\displaystyle s=\overline{\lim}_{x \to x_0}g(x) \geq \underline{\lim}_{x \to x_0}g(x)=i
\)
e dunque mica semplicemente invertendo il segno di \(\displaystyle s \) lo rendo uguale a \(\displaystyle i \)
Grazie dell'interessamento.
Scusa per l'imprecisione. Credo ce ne sia anche un'altra, e cioè la notazione, che dovrebbe essere \(\displaystyle D^+f(x_0) \) e non \(\displaystyle D^+f(x) \).
Quell'uguaglianza significa in sostanza che:
\(\displaystyle -\overline{\lim}_{x \to x_0}g(x)=-\lim_{\delta \to 0}\sup\left \{ g(x) \in \mathbb{R}| x \neq x_0, |x-x_0|<\delta \right \} \)
è uguale a:
\(\displaystyle \underline{\lim}_{x \to x_0}g(x)=\lim_{\delta \to 0}\inf\left \{ g(x) \in \mathbb{R}| x \neq x_0, |x-x_0|<\delta \right \} \)
e non ne vedo il senso perché in generale si ha che tra questi due numeri reali vale la disuguaglianza:
\(\displaystyle s=\overline{\lim}_{x \to x_0}g(x) \geq \underline{\lim}_{x \to x_0}g(x)=i
\)
e dunque mica semplicemente invertendo il segno di \(\displaystyle s \) lo rendo uguale a \(\displaystyle i \)
Grazie dell'interessamento.
"Ianero":
[...] Credo ce ne sia anche un'altra, e cioè la notazione, che dovrebbe essere \( \displaystyle D^+f(x_0) \) e non \( \displaystyle D^+f(x) \). [...]
Vero, non me ne ero neppure accorto!
"Ianero":
[...]
e dunque mica semplicemente invertendo il segno di \( \displaystyle s \) lo rendo uguale a \( \displaystyle i \)
Ma in effetti non è vera. Ciò che è vero è che
\[ \liminf (-a_n)=-\limsup a_n \]
\[\limsup (-a_n) =-\liminf a_n\]
Dunque o ti sei perso un meno o c'è qualcosa che non va. Vediamo:
Sia
\( \displaystyle D^+f(x)=\left \{ p \in \mathbb{R} | \overline{\lim}_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)-p\cdot (x-x_0)}{| x-x_0 |}\leq 0\right \} \).
1. Supponiamo sia $x
\[ D^+f(x)= \left \{ p \in \mathbb{R} | \overline{\lim}_{x \to x_0^-} \biggl ( -\frac{f(x)-f(x_0)}{ x-x_0 } \biggr )+p\leq 0 \right \} = \left \{ p \in \mathbb{R} | -\underline{\lim}_{x \to x_0^-} \biggl ( \frac{f(x)-f(x_0)}{ x-x_0 } \biggr )+p\leq 0 \right \} = \left \{ p \in \mathbb{R} | p \le \underline{\lim}_{x \to x_0^-} \biggl ( \frac{f(x)-f(x_0)}{ x-x_0 } \biggr ) \right \} \]
2. Supponiamo sia $x>x_0$, allora $|x-x_0| = (x-x_0)$ da cui:
\[ D^+f(x)= \left \{ p \in \mathbb{R} | \overline{\lim}_{x \to x_0^+} \biggl ( \frac{f(x)-f(x_0)}{ x-x_0 } \biggr )-p\leq 0 \right \} = \left \{ p \in \mathbb{R} | p \ge \underline{\lim}_{x \to x_0^+} \biggl ( \frac{f(x)-f(x_0)}{ x-x_0 } \biggr ) \right \} \]
Da cui
\[ D^+f(x)=\left \{ p \in \mathbb{R} | \overline{\lim}_{x \to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{ x-x_0 } \leq p \leq \underline{\lim}_{x \to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{ x-x_0 } \right \} \]
Che dovrebbe tornarti!
Grandissimo, grazie!
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