"Potenze inverse" di funzioni algebriche

[Caenorhabditis]

Data una funzione $f(x)$, esiste un algoritmo per trovare le funzioni che, applicate $ n $ volte ad $ x $, equivalga ad $ f $?
Non so se abbia una notazione ufficiale; qui la chiamerò $ f^{1/n}(x) $.

Ad esempio, per $ f^{1/2}(x) $:

$ f(x)=k → f^{1/2}(x)=k $

$ f(x)=x → f^{1/2}(x)=x $

$ f(x)=cx → f^{1/2}(x)=\sqrt{c}x $

$ f(x)=ax+b → f^{1/2}(x)=\sqrt{a}x + \frac{b}{\sqrt{a}+1} $

$ f(x)=ax^n → f^{1/2}(x)=\^{\sqrt{n}+1}\sqrt{a}x^{\sqrt{n}} $

$ f(x)=1-x → (x-1/2)i+1/2 $

[ciampax]

La notazione corretta è la seguente: data $f(x)$ cerchi una funzione $g(x)$ tale che

$g^n(x)=f(x)$

dove si indica

$g^n(x)=(g\circ\ldots\circ g)(x)$ con la composizione di $n$ funzioni $g$.

Negli esempi che fai alcune sono immediate, altre un po' meno. Ma il problema di risolvere questo tipo di equazione non è dei più semplici e, a quanto ricordi, non c'è un metodo/algoritmo standard.

Prova un po' a cercare equazioni iterative o equazioni funzionali iterative in giro.

[Caenorhabditis]

Fino alle trasformazioni di Möbius (cioè a movimenti della sfera di Riemman) è solo una questione di calcoli, ma non capisco come fare per polinomi completi di grado superiore al primo.

[ciampax]

Neanche i grandi matematici! Come ti dicevo, non c'è un metodo standard ed, anzi, può capitare che funzioni innocue derivino da cose complicatissime e funzioni impossibili derivino da cose semplicissime. Già riuscire a scrivere una cosa per questo

$x^2+ax+b$

può risultare laborioso all'ordine 2, figurati ad ordini più alti.

[Caenorhabditis]

L'argomento mi interessa. Qualcuno saprebbe dirmi dove trovare i principali articoli accademici al riguardo (sempre che riesca a leggerli)?