"paradosso" matematico
Salve... vorrei proporvi un "paradosso" (lo è per me, sicuramente non lo sarà per voi) matematico... apparentemente di geometria ma sospetto che la soluzione sia di tipo analitico per questo ho postato qui.
Data una circonferenza di raggio $r$, e un quadrato a essa iscritto. Se nel quadrato prendo due qualsiasi punti su due lati adiacenti, traccio le due rette perpendicolari ai rispettivi segmenti ove giacciono i punti, e prendo il punto di intersezione delle due rette così generate, la poligonale chiusa così generata avrà lo stesso perimetro del quadrato originale. Ora il punto è, io posso "avvicinare" il quadrato circoscritto alla circonferenza "approssimandolo" di volta in volta a essa con operazioni di questo tipo, avendo che la figura ottenuta ha sempre lunghezza uguale a quella del quadrato iniziale... se traccio un'ulteriore circonferenza circoscritta al quadrato iniziale a ogni "livello di smussamento" questa circonferenza esterna diminuisce di raggio... se allora immagino di eseguire infinite volte questa operazione la circonferenza esterna approssima sempre più quella interna. Posso allora dire, denotando con $r_\epsilon$ la circonferenza di raggio $r + \epsilon$ che $AA \epsilon>0 EE$ una circonferenza con raggio $r_\epsilon$ esterna a una poligonale tracciata utilizzando il metodo di smussamento definito sopra, a sua volta esterna alla circonferenza di raggio $r$. Ma per l'arbitrarietà di $\epsilon$ all'infinito posso far coincidere le circonferenze interna e esterna, e quindi in una sorta di teorema dei due carabinieri la poligonale tra essi compresa.... che però mantiene la lunghezza fissa del quadrato iniziale, il che è ovviamente assurdo. Dov'è l'errore nel ragionamento?? La rettificazione delle curve è alla base dell'analisi di curve e superfici... cos'è diverso in questo caso?
Data una circonferenza di raggio $r$, e un quadrato a essa iscritto. Se nel quadrato prendo due qualsiasi punti su due lati adiacenti, traccio le due rette perpendicolari ai rispettivi segmenti ove giacciono i punti, e prendo il punto di intersezione delle due rette così generate, la poligonale chiusa così generata avrà lo stesso perimetro del quadrato originale. Ora il punto è, io posso "avvicinare" il quadrato circoscritto alla circonferenza "approssimandolo" di volta in volta a essa con operazioni di questo tipo, avendo che la figura ottenuta ha sempre lunghezza uguale a quella del quadrato iniziale... se traccio un'ulteriore circonferenza circoscritta al quadrato iniziale a ogni "livello di smussamento" questa circonferenza esterna diminuisce di raggio... se allora immagino di eseguire infinite volte questa operazione la circonferenza esterna approssima sempre più quella interna. Posso allora dire, denotando con $r_\epsilon$ la circonferenza di raggio $r + \epsilon$ che $AA \epsilon>0 EE$ una circonferenza con raggio $r_\epsilon$ esterna a una poligonale tracciata utilizzando il metodo di smussamento definito sopra, a sua volta esterna alla circonferenza di raggio $r$. Ma per l'arbitrarietà di $\epsilon$ all'infinito posso far coincidere le circonferenze interna e esterna, e quindi in una sorta di teorema dei due carabinieri la poligonale tra essi compresa.... che però mantiene la lunghezza fissa del quadrato iniziale, il che è ovviamente assurdo. Dov'è l'errore nel ragionamento?? La rettificazione delle curve è alla base dell'analisi di curve e superfici... cos'è diverso in questo caso?
Risposte
Nessuno ti dice
che la circonferenza "circoscritta" abbia
lunghezza
maggiore di quella del perimetro del quadrato /poligonale.
Già dopo la prima "operazione di
smussatura" (se "smussi" così i quattro angoli, di
modo da poter ancora avere una circonferenza che
passi per
i vertici di "convessità" del poligono) -hai
che essa srebbe in parte interna, in parte esterna al "quadrato originale".
Teoricamente, sai pure che c'è una tale "smussatura" tale che
la circonferenza sia lunga esattamente quanto il perimetro del quadrato.
O , per altra, è maggiore, per altra minore. Uozzdeproblam?
che la circonferenza "circoscritta" abbia
lunghezza
maggiore di quella del perimetro del quadrato /poligonale.
Già dopo la prima "operazione di
smussatura" (se "smussi" così i quattro angoli, di
modo da poter ancora avere una circonferenza che
passi per
i vertici di "convessità" del poligono) -hai
che essa srebbe in parte interna, in parte esterna al "quadrato originale".
Teoricamente, sai pure che c'è una tale "smussatura" tale che
la circonferenza sia lunga esattamente quanto il perimetro del quadrato.
O , per altra, è maggiore, per altra minore. Uozzdeproblam?
Quello sì, in effetti non ho mai detto che la lunghezza della poligonale interna debba essere minore del circonferenza esterna. Però posso smussare in modo arbitrario la poligonale perché sia adiacente quanto voglio alla circonferenza interna, cosa mi impedisce di portare il ragionamento all'infinito facendo così coincidere poligonale e circonferenza? un simile ragionamento si "smussatura" dall'interno è un po' il procedimento di rettificazione di una curva, che all'infinito dà la sua lunghezza, e funziona poiché aumentando i vertici aumenta in modo monotono la lunghezza della poligonale approssimante.... perché dall'esterno si giunge a un paradosso? In questo modo potrei "approssimare" geometricamente dall'esterno il quadrato alla circonferenza interna abbastanza da rendere le due figure intuitivamente indistinguibili, nel senso che se le guardo a occhio non noto differenza, pur avendo le due figure lunghezze radicalmente diverse... ??
Hai scoperto una proprietà delle lunghezze (nota agli esperti) che rende problematico il loro studio. Mi sembra che - nella sua essenza - il problema sia
lo stesso nell'esempio più semplice che ti propongo:
Considera il segmento tra i punti $(0,0)$ e $(1,1)$ che fa da supporto alla retta $y=x$, $0\leq x \leq 1$. Prendi $n$ intero, dividi $[0,1]$ in $n$ parti eguali e considera
la spezzata fatta dai segmenti verticali di estremi $(i/n,i/n)$ e $(i/n,(i+1)/n)$ ($i=0,...,n-1$) ognumo seguito dal segmento orizzontale di estremi $(i/n,(i+1)/n)$ e $((i+1)/n,(i+1)/n)$ ($i=0,...,n-1$) - mi spiace che non ho tempo di fare un disegno. E' chiaro che le spezzate approssimano il segmento (in che senso ?? - beh le spezzate tendono ad essere "uniformemente vicine al segmento per $n\to\infty$), ma le lunghezze sono sempre $2$ mentre la lunghezza del segmento è $\sqrt{2}$. Manca in questo caso la semicontinuità superiore della lunghezza (rispetto alla convergenza "uniforme" che non sto precisando).
La definizione generale di perimetro, come accennavo all'inizio, non è per nulla banale.
EDIT corretti alcuni errori
lo stesso nell'esempio più semplice che ti propongo:
Considera il segmento tra i punti $(0,0)$ e $(1,1)$ che fa da supporto alla retta $y=x$, $0\leq x \leq 1$. Prendi $n$ intero, dividi $[0,1]$ in $n$ parti eguali e considera
la spezzata fatta dai segmenti verticali di estremi $(i/n,i/n)$ e $(i/n,(i+1)/n)$ ($i=0,...,n-1$) ognumo seguito dal segmento orizzontale di estremi $(i/n,(i+1)/n)$ e $((i+1)/n,(i+1)/n)$ ($i=0,...,n-1$) - mi spiace che non ho tempo di fare un disegno. E' chiaro che le spezzate approssimano il segmento (in che senso ?? - beh le spezzate tendono ad essere "uniformemente vicine al segmento per $n\to\infty$), ma le lunghezze sono sempre $2$ mentre la lunghezza del segmento è $\sqrt{2}$. Manca in questo caso la semicontinuità superiore della lunghezza (rispetto alla convergenza "uniforme" che non sto precisando).
La definizione generale di perimetro, come accennavo all'inizio, non è per nulla banale.
EDIT corretti alcuni errori
ho afferrato il concetto del tuo esempio, che in effetti è assolutamente analogo al mio caso, solo che ci sono alcuni dettagli (forse irrilevanti ma non si sa mai) che non ho ben capito:
Ma allora come si risolve il problema? questo significa che se vedo una retta diagonale non potrò mai essere sicuro che sia lunga $\sqrt(2)$ perché potrebbe essere una spezzata con abbastanza segmenti da non permettermi di distinguerla da una retta, e quindi avente misura 2? xD c'é qualcosa che non va....[/quote]
la spezzata fatta dai segmenti orizzontali di estremi $(i/n,i/n)$ e $(i/n,(i+i)/n)$questo non è un segmento verticale (e l'altro orizzontale) ? E come mai usi $i +i $ invece di $i+1$, che usi solo dopo per l'incremento nelle ascisse del secondo segmento? conosco i concetti di convergenza uniforme, semicontinuità e compagnia bella (bene o male..).. in pratica dici che non è semicontinua superiormente perché all'infinito posso considerare la spezzata uguale al segmento? quindi si avrebbe, denominando con $p$ la spezzata e $l$ la retta, che $limSup_(n->\infty) \mu(p) = 2 > \mu(l)$ mentre si dovrebbe avere $<=$ per la semicontinuità superiore...
Ma allora come si risolve il problema? questo significa che se vedo una retta diagonale non potrò mai essere sicuro che sia lunga $\sqrt(2)$ perché potrebbe essere una spezzata con abbastanza segmenti da non permettermi di distinguerla da una retta, e quindi avente misura 2? xD c'é qualcosa che non va....[/quote]
Scusa per la confusione verticale/orizzontale, su cui hai perfettamente ragione (che legge da un po' il forum sa che spesso mi capita ...). Correggo subito gli errori.
Per quanto riguarda la sostanza ti accenno ai punti salienti - per rispondere bisogna innanzitutto DEFINIRE la lunghezza. Un modo possibile è dare la lunghezza di una curva
(passando per esempio per le parametrizzazioni) , un altro è definire il perimetro di un insieme - si può fare, la cosa ha bisogno di un po' di lavoro (se ho tempo ne riaprliamo più tardi). Poi - per parlare di curve vicine tra loro - bisogna dare una nozione di convergenza (tra le curve puoi considerare in effetti la convergenza uniforme - tra gli insiemi hai varie possbilità, quella adombrata dal tuo esempio porebbe essere la convergenza di Hausdorff).
IN OGNI CASO troverai che di solito la lunghezza (o il perimetro) non è semicontinua superiormente (il limite delle lunghezze approssimanti può essere maggiore della lunghezza del limite).
Il tuo discorso "se vedo una retta diagonale non potrò mai essere sicuro che sia lunga $\sqrt{2}$"
è abbastanza filosofico ... (è una questione di interpretazione delle cose); matematicamente la lunghezza è definita e fa $\sqrt{2}$ - quello che non è vero (e bisogna rassegnarsi ad accettarlo) è che curve arbitrariamente vicine possono avere lunghezza molto più grossa (anche tendente all'infinito); la lunghezza non è "stabile" come ci piacerebbe.
Tra l'altro, se non ricordo male, passando all'area delle superfici si può perdere anche la semicontinuità inferiore (rispetto all conv. uniforme - qui la convergenza che si usa diventa cruciale).
Spero che non ci siano altre sviste - questo è un terreno abbastanza minato.
Per quanto riguarda la sostanza ti accenno ai punti salienti - per rispondere bisogna innanzitutto DEFINIRE la lunghezza. Un modo possibile è dare la lunghezza di una curva
(passando per esempio per le parametrizzazioni) , un altro è definire il perimetro di un insieme - si può fare, la cosa ha bisogno di un po' di lavoro (se ho tempo ne riaprliamo più tardi). Poi - per parlare di curve vicine tra loro - bisogna dare una nozione di convergenza (tra le curve puoi considerare in effetti la convergenza uniforme - tra gli insiemi hai varie possbilità, quella adombrata dal tuo esempio porebbe essere la convergenza di Hausdorff).
IN OGNI CASO troverai che di solito la lunghezza (o il perimetro) non è semicontinua superiormente (il limite delle lunghezze approssimanti può essere maggiore della lunghezza del limite).
Il tuo discorso "se vedo una retta diagonale non potrò mai essere sicuro che sia lunga $\sqrt{2}$"
è abbastanza filosofico ... (è una questione di interpretazione delle cose); matematicamente la lunghezza è definita e fa $\sqrt{2}$ - quello che non è vero (e bisogna rassegnarsi ad accettarlo) è che curve arbitrariamente vicine possono avere lunghezza molto più grossa (anche tendente all'infinito); la lunghezza non è "stabile" come ci piacerebbe.
Tra l'altro, se non ricordo male, passando all'area delle superfici si può perdere anche la semicontinuità inferiore (rispetto all conv. uniforme - qui la convergenza che si usa diventa cruciale).
Spero che non ci siano altre sviste - questo è un terreno abbastanza minato.
Mi ricordo
che avevo in mente lo stesso "paradosso" proprio
riguardo alla diagonale del quadrato taaaanti anni fa.
C'è da pensare altresì all'idea di "passaggio al limite": l'area
va "a zero" più velocemente del perimetro. Se anche
l'area è "a zero", nulla ti dice
che due lati coincidano con il terzo.
(spero di essermi spiegato -non è un linguaggio formale)
che avevo in mente lo stesso "paradosso" proprio
riguardo alla diagonale del quadrato taaaanti anni fa.
C'è da pensare altresì all'idea di "passaggio al limite": l'area
va "a zero" più velocemente del perimetro. Se anche
l'area è "a zero", nulla ti dice
che due lati coincidano con il terzo.
(spero di essermi spiegato -non è un linguaggio formale)
Se è un problema di "miopia", le cose possono anche essere peggiori.
Potresti non distinguere un segmento (diciamo orizzontale) da una spezzata "molto puntuta". La cui lunghezza può andarsene a più infinito, nel mentre approssima uniformemente (come diceva ViciousGoblin) il tuo segmento. Quindi, non puoi essere sicuro di niente.
Il problema è che matematicamente non c'è il rischio di confondere i due oggetti (segmento dritto e "spezzata"). Diverso è il caso della loro rappresentazione concreta. D'altronde, quando insegno ottimizzazione di solito disegno sulla lavagna una curva che è (sembra essere) la parabola di equazione $y=x^2$ e gli dico che l'origine è un punto di massimo relativo. Come mai? Semplice, la risoluzione insufficiente con cui è fatto il disegno alla lavagna impedisce di vedere che nell'origine c'è un "bozzo". Se ingrandiamo bene bene...
PS: sono troppo lento, ho visto che ViciousGoblin ha già parlato della lunghezza che va verso l'infinito
Potresti non distinguere un segmento (diciamo orizzontale) da una spezzata "molto puntuta". La cui lunghezza può andarsene a più infinito, nel mentre approssima uniformemente (come diceva ViciousGoblin) il tuo segmento. Quindi, non puoi essere sicuro di niente.
Il problema è che matematicamente non c'è il rischio di confondere i due oggetti (segmento dritto e "spezzata"). Diverso è il caso della loro rappresentazione concreta. D'altronde, quando insegno ottimizzazione di solito disegno sulla lavagna una curva che è (sembra essere) la parabola di equazione $y=x^2$ e gli dico che l'origine è un punto di massimo relativo. Come mai? Semplice, la risoluzione insufficiente con cui è fatto il disegno alla lavagna impedisce di vedere che nell'origine c'è un "bozzo". Se ingrandiamo bene bene...
PS: sono troppo lento, ho visto che ViciousGoblin ha già parlato della lunghezza che va verso l'infinito
"orazioster":
Mi ricordo
che avevo in mente lo stesso "paradosso" proprio
riguardo alla diagonale del quadrato taaaanti anni fa.
C'è da pensare altresì all'idea di "passaggio al limite": l'area
va "a zero" più velocemente del perimetro. Se anche
l'area è "a zero", nulla ti dice
che due lati coincidano con il terzo.
(spero di essermi spiegato -non è un linguaggio formale)
Formalmente quello che dici è che il perimetro di un insieme non è continuo rispetto alla convergenza indotta da
$"dist"(A,B):="mis"(A\Delta B)$ (qui mis indica la misura di Lebesgue e $\Delta$ la differenza simmetrica)
riguardo alla lunghezza delle curve, io sapevo che si definiva attraverso la rettificazione, ovvero parametrizzando la curva e attraverso poligonali che si avvicinano arbitrariamente, definendo poi la lunghezza come il limite superiore delle lunghezze delle spezzate... solo che quando l'avevo studiata nulla mi aveva fatto pensare ai possibili paradossi, né i testi ne accennavano; semplicemente si diceva che la lunghezza è definita quando esiste il limite superiore, che dato che nei casi trattati le lunghezze aumentavano in modo monotono all'aumentare dei vertici sembrava alquanto naturale che esistesse...
Il fatto che una "quasi-retta" può anche avere lunghezza infinita è alquanto scoraggiante! =P ma a pensarci ha senso, in fondo è come "arrotolare" un segmento dritto e infinito in un tratto finito.... una specie di supermolla?
Inoltre, tornando alla retta "segmentificata", il fatto che in un certo senso è come se si stesse passando all'infinito da una distanza indotta da una norma $||*||_1$ a una della norma $||*||_2$ è solo un caso (o perlomeno ha un qualche senso)?
la cosa mi incuriosisce alquanto... avete qualche link a testi/dispense o simili che trattano dell'argomento?
Il fatto che una "quasi-retta" può anche avere lunghezza infinita è alquanto scoraggiante! =P ma a pensarci ha senso, in fondo è come "arrotolare" un segmento dritto e infinito in un tratto finito.... una specie di supermolla?
Inoltre, tornando alla retta "segmentificata", il fatto che in un certo senso è come se si stesse passando all'infinito da una distanza indotta da una norma $||*||_1$ a una della norma $||*||_2$ è solo un caso (o perlomeno ha un qualche senso)?
la cosa mi incuriosisce alquanto... avete qualche link a testi/dispense o simili che trattano dell'argomento?
"TTnt87":
riguardo alla lunghezza delle curve, io sapevo che si definiva attraverso la rettificazione, ovvero parametrizzando la curva e attraverso poligonali che si avvicinano arbitrariamente, definendo poi la lunghezza come il limite superiore delle lunghezze delle spezzate... solo che quando l'avevo studiata nulla mi aveva fatto pensare ai possibili paradossi, né i testi ne accennavano; semplicemente si diceva che la lunghezza è definita quando esiste il limite superiore, che dato che nei casi trattati le lunghezze aumentavano in modo monotono all'aumentare dei vertici sembrava alquanto naturale che esistesse...
Il fatto che una "quasi-retta" può anche avere lunghezza infinita è alquanto scoraggiante! =P ma a pensarci ha senso, in fondo è come "arrotolare" un segmento dritto e infinito in un tratto finito.... una specie di supermolla?
Inoltre, tornando alla retta "segmentificata", il fatto che in un certo senso è come se si stesse passando all'infinito da una distanza indotta da una norma $||*||_1$ a una della norma $||*||_2$ è solo un caso (o perlomeno ha un qualche senso)?
la cosa mi incuriosisce alquanto... avete qualche link a testi/dispense o simili che trattano dell'argomento?
Purtroppo non ho testi semplici sottomano. Forse qualche altro membro del forum può soccorrerti: l'argomento (non semplice) è la "teoria geometrica della misura".
Ti lancio una "suggestione": in qualche senso il legame tra volume e perimetro è lo stesso che intercorre tra funzione e derivata (la misura legata al perimetro è la derivata di quella associata al perimetro); questo fa capire come la misura del perimetro possa comportarsi male rispetto al volune ...
"TTnt87":
riguardo alla lunghezza delle curve, io sapevo che si definiva attraverso la rettificazione, ovvero parametrizzando la curva e attraverso poligonali che si avvicinano arbitrariamente, definendo poi la lunghezza come il limite superiore delle lunghezze delle spezzate... solo che quando l'avevo studiata nulla mi aveva fatto pensare ai possibili paradossi, né i testi ne accennavano; semplicemente si diceva che la lunghezza è definita quando esiste il limite superiore, che dato che nei casi trattati le lunghezze aumentavano in modo monotono all'aumentare dei vertici sembrava alquanto naturale che esistesse...
Ci entra però
l'idea di derivata -infatti
la "lunghezza locale della curva" sarà il modulo del vettore tangente.
Intendo dire che il passaggio al limite sia di un rapporto incrementale (ed
è quello che si considera per avere la lunghezza di una curva).
Così la spezzata ad angoli retti non sarebbe "adeguata" per approssimare la diagonale -poichè
non sta tendendo alla tangente.
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