"derivatone"

[ralf86]

Data una funzione vettoriale so che la matrice Jacobiana di tale funzione è appunto una matrice, in generale rettangolare, delle derivate parziali prime. Quindi in un certo senso si può vedere la matrice Jacobiana come la derivata prima di una funzione vettoriale fatta rispetto al vettore delle variabili

La domanda è: esiste in letteratura matematica la definizione di derivata prima di una "funzione MATRICIALE" (=una matrice di funzioni scalari) fatta rispetto al vettore delle variabili ?

grazie mille e mi scuso con i puristi per il linguaggio molto spiccio

[gugo82]

Penso si possa fare, forse in ambito tensoriale, non sò... Ma certamente viene fuori qualcosa di complicato.

[dissonance]

Si, si, il concetto di derivata nell'ambito più generale possibile si ha negli spazi vettoriali. Precisamente (cito da Lang Undergraduate Analysis 2a edizione pagina 463):

[In precedenza ha assunto che $E$ ed $F$ sono spazi di Banach.]
Let $U$ be open in $E$ and let $x\inU$. Let $f: U\toF$ be a map. We shall say that f is differentiable at $x$ if there exists a continuous linear map $lambda:E\toF$ and a map $psi$ defined for all sufficiently small $h$ in $E$, with values in $F$, such that
$lim_{h\to0}psi(h)=0$, and such that
$f(x+h)=f(x)+lambda(x)+|h|psi(h)$
[...]

In particolare, e nel seguito del testo mi pare venga anche considerato questo caso, possono essere $E=RR^n$, $F="Lin"(RR^n, RR^m)$, ovvero essenzialmente lo spazio delle matrici. La derivata sarà allora un operatore lineare continuo di $RR^n$ in $"Lin"(RR^n, RR^m)$, ovvero un elemento di
$"Lin"(RR^n, "Lin"(RR^n, RR^m))$.
In realtà questo spazio si può identificare con uno più semplice, ovvero $2-"Lin"(RR^n, RR^n; RR^m)$ inteso come spazio delle applicazioni bilineari $RR^ntimesRR^n\toRR^m$. E così per le derivate successive. Trovi comunque tutti i dettagli nel testo che dicevo sopra.

P.S.: Spero di avere capito il senso della domanda, però...